结论：农民承包地上长成的自然林是否可以砍伐，不能一概而论，需根据树木的归属、砍伐目的及是否办理相关手续等因素综合判断。以下从不同角度详细分析：
一、树木归属与砍伐权限
个人所有树木：
- 若承包地上的树木是农民个人种植并所有，理论上农民有权决定砍伐。但必须办理采伐许可证，否则可能构成违法砍伐。
- 法律依据：根据《森林法》第五十六条，采伐林地上的林木应当申请采伐许可证，并按照采伐许可证的规定进行采伐。农村居民采伐自留地和房前屋后个人所有的零星林木，不需要申请采伐许可证。但承包地上的树木，通常不属于“自留地和房前屋后个人所有的零星林木”范畴，因此需办理许可证。
集体或国家所有树木：
- 若承包地上的树木属于集体或国家所有（如通过承包合同约定由集体或国家保留树木所有权），则农民无权擅自砍伐，需经集体或国家相关部门同意，并办理相关手续。
二、砍伐目的与合规性
自用砍伐：
- 即使树木归农民个人所有，若砍伐目的是为了自用（如建房、烧柴等），也需办理采伐许可证，并确保砍伐量在许可证规定的范围内。
商业砍伐：
- 若砍伐目的是为了出售木材等商业用途，则必须严格办理采伐许可证，并可能需缴纳相关税费。未经许可的商业砍伐，将面临更严厉的法律处罚。
三、特殊情形与注意事项
生态保护林与古树名木：
- 若承包地上的树木属于生态保护林或古树名木，则严禁砍伐。违反者将承担严重的法律责任，包括刑事责任。
承包合同约定：
- 农民在承包土地时，应仔细阅读承包合同，了解合同中关于树木砍伐的约定。若合同中有明确限制或禁止砍伐的条款，则需遵守合同约定。
办理采伐许可证的流程：
- 农民在砍伐前，应向当地林业主管部门提出申请，提交相关证明材料（如土地承包合同、树木所有权证明等），并按照要求填写采伐申请表。林业主管部门将根据实际情况进行审批，并核发采伐许可证。
四、法律后果与风险提示
- 违法砍伐的后果：未经许可擅自砍伐树木，将面临林业主管部门的行政处罚，包括罚款、没收违法所得、责令补种树木等。情节严重的，还可能构成犯罪，被追究刑事责任。
- 风险提示：农民在砍伐树木前，务必确认树木的归属、砍伐目的及是否需办理相关手续。切勿因一时疏忽或贪图小利而触犯法律。
建议：农民在砍伐承包地上的树木前，应先咨询当地林业主管部门或专业律师，了解相关法律法规和政策要求，确保砍伐行为合法合规。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。