结论前置：劳动合同到期不续签但员工继续工作的情况下，赔偿问题需结合具体情形分析，主要涉及双倍工资差额、经济补偿金以及无固定期限劳动合同的签订等问题。以下是对此问题的详细解答：
一、合同到期未续签但继续工作的法律性质
根据《劳动合同法》的规定，劳动合同期满后，若双方未续签书面合同，但劳动者仍在原岗位工作且用人单位未提出异议的，视为形成事实劳动关系。此时，劳动关系仍然存续，但可能因缺乏书面约定导致权利义务不明确。
二、赔偿或补偿的具体情形
用人单位应支付双倍工资差额的情形
- 法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 适用条件：
- 原劳动合同已到期；
- 用人单位未在一个月内与劳动者续签书面合同；
- 劳动者继续工作超过一个月。
- 计算方式：从第二个月起至补订合同前一日，按实际工资金额（含基本工资、奖金等）支付双倍工资差额。例如，若月工资5000元，未签合同持续3个月，则差额为5000元×2（第二个月和第三个月，第一个月为宽限期不计入）=10000元中的后两个月部分，即实际应支付差额为5000元（第二个月）+5000元（第三个月）=10000元（但需注意，此处表述为便于理解，实际计算时直接按未签合同月数乘以月工资再减去已支付工资即可得出差额）。更精确的计算是，若这三个月都未签合同，则第二、三月应支付双倍，即额外支付一个月工资作为差额，若月工资固定为5000元，则差额为5000元（针对第二个月）+5000元（针对第三个月）=10000元（但此10000元是额外支付的，加上原本应支付的工资，这两个月实际到手为20000元，差额概念是相对于若签合同则只需支付10000元而言）。简言之，就是未签合同的第二个月起，每月额外支付一倍工资作为差额。
终止劳动关系的经济补偿金
- 协商解除：若双方协商一致解除合同，用人单位需按《劳动合同法》第四十七条支付经济补偿金，标准为每满一年支付一个月工资。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 违法解除：若用人单位单方终止事实劳动关系且无合法理由，可能构成违法解除，需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
无固定期限劳动合同的强制签订
- 若劳动者符合《劳动合同法》第十四条规定的连续工作满十年或连续两次续订固定期限合同的情形，用人单位应签订无固定期限合同而未签订的，劳动者可主张双倍工资差额及补签无固定期限合同。
三、劳动者的维权途径
- 协商解决：优先与用人单位沟通，要求续签合同或支付补偿。
- 劳动仲裁：若协商未果，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，时效为一年。
- 诉讼救济：对仲裁结果不服的，可在十五日内向法院提起诉讼。
四、典型案例参考
- 案例：某员工合同到期后继续工作6个月，用人单位未续签。法院最终判决用人单位支付5个月双倍工资差额（扣除第一个月宽限期），并承担诉讼费用。
五、注意事项
- 保留证据：保存工资记录、考勤表、工作邮件等材料以证明劳动关系存续。
- 及时主张权利：双倍工资差额的仲裁时效自未签合同次月起逐月计算，逾期可能丧失胜诉权。
- 区分“未续签”与“拒绝续签”：若用人单位提出续签而劳动者拒绝，则不适用双倍工资规则。
举例说明：
- 情况一：小王与公司劳动合同到期，公司未提出续签，但小王继续工作。一个月后，公司仍未与小王续签合同。此时，小王有权要求公司支付从第二个月起的双倍工资差额。
- 情况二：小李与公司劳动合同到期，公司提出降低工资待遇后续签合同，小李不同意并继续工作。一个月后，公司终止与小李的劳动关系。此时，小李有权要求公司支付经济补偿金，且因公司降低劳动条件导致不续签，经济补偿金应按小李在公司的工作年限计算。
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