结论：银行发了逾期的短信后又赶紧还上，这种情况是否会产生不良影响，主要取决于还款的及时性、银行的具体政策以及逾期记录是否已被上报至征信系统。以下从不同角度为您详细分析：
还款及时性：
- 如果您在收到逾期短信后，能够立即或非常迅速地还清欠款，这通常表明您并非恶意逾期，且具备及时还款的能力。在这种情况下，银行可能会视情况给予一定的宽容，不立即将逾期记录上报至征信系统，或者即使上报，也可能在后续与您沟通时考虑撤销或修改该记录。
银行具体政策：
- 不同银行对于逾期的处理政策可能有所不同。有些银行可能对于首次、轻微的逾期行为采取较为宽容的态度，给予客户一定的宽限期或机会来纠正错误。而有些银行则可能严格执行逾期记录的上报制度，无论逾期时间长短或金额大小。因此，了解并熟悉您所贷款银行的具体政策对于判断逾期后果至关重要。
逾期记录是否已被上报至征信系统：
- 征信系统是记录个人信用状况的重要平台，银行通常会将客户的逾期记录上报至该系统。如果逾期记录已经被上报，那么即使您后续还清了欠款，该记录也可能在征信系统中保留一段时间（通常为几年），对您的信用状况产生一定影响。然而，如果逾期记录尚未被上报，或者银行在了解您的情况后同意撤销或修改该记录，那么您的信用状况可能不会受到太大影响。
法律建议：
- 及时沟通：在收到逾期短信后，建议您立即与银行取得联系，说明情况并表达还款意愿。通过积极沟通，您可以更好地了解银行的具体政策，并争取到更多的宽限期或机会来纠正错误。
- 保留证据：在还款过程中，请务必保留好相关证据（如转账记录、还款凭证等），以备不时之需。这些证据可以在后续与银行沟通或处理纠纷时发挥重要作用。
- 关注征信记录：还款后，建议您定期查询自己的征信记录，确保逾期记录没有被错误地上报或保留。如果发现异常情况，请及时与银行或征信机构联系并寻求解决方案。
可能后果：
- 如果逾期记录被上报至征信系统，可能会对您的信用状况产生一定影响，如影响您未来申请贷款、信用卡等金融产品的审批结果。
- 如果银行对您的逾期行为采取法律手段（如起诉、申请强制执行等），您可能需要承担相应的法律责任和费用。然而，这种情况通常发生在逾期时间较长、金额较大且客户拒绝还款的情况下。
总之，虽然银行发了逾期的短信后又赶紧还上可能不会立即产生严重的法律后果，但仍然建议您高度重视逾期问题，及时与银行沟通并采取措施加以解决。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。