结论：邻居漏水导致老人着急上火生病住院，在符合一定条件下，是可以申请赔偿的。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律关系分析
侵权责任关系：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在此情况下，邻居因漏水行为导致您家老人着急上火生病住院，若能证明漏水与老人生病之间存在因果关系，且邻居存在过错（如未及时维修、未尽到管理义务等），则邻居应承担侵权责任。
相邻权关系：
- 相邻权是指不动产的相邻各方在行使所有权或使用权时，因相互间依法应当给予方便或接受限制而发生的权利义务关系。邻居作为不动产的相邻方，有义务保持其不动产的正常使用状态，避免对相邻方造成损害。若漏水是由于邻居未尽到合理管理义务所致，邻居可能违反了相邻权的相关规定。
二、赔偿条件及证据收集
赔偿条件：
- 要获得赔偿，您需要证明以下几点：
- 邻居存在漏水行为；
- 漏水行为与老人生病之间存在因果关系；
- 邻居存在过错（如未及时维修、未尽到管理义务等）；
- 老人生病产生了实际的医疗费用等损失。
证据收集：
- 收集漏水现场的照片、视频等证据，以证明漏水事实的存在；
- 收集老人的医疗记录、诊断证明、医疗费用发票等证据，以证明老人生病与漏水之间的因果关系以及实际产生的损失；
- 如有可能，收集邻居承认漏水或未及时维修的书面或录音证据，以证明邻居存在过错。
三、赔偿范围及计算方式
赔偿范围：
- 赔偿范围通常包括老人因生病产生的医疗费用、护理费、交通费、营养费等实际损失，以及因生病导致的误工费（如老人有工作收入）等间接损失。若老人因生病导致残疾或死亡，还可能涉及残疾赔偿金或死亡赔偿金等。
计算方式：
- 医疗费用：根据实际产生的医疗费用发票进行计算；
- 护理费：根据护理人员的收入状况和护理期限进行计算；
- 交通费：根据老人就医或转院治疗实际发生的交通费用进行计算；
- 营养费：根据老人的营养需求和营养期限进行计算；
- 误工费：根据老人的收入状况和误工期限进行计算（如老人有工作收入）；
- 残疾赔偿金或死亡赔偿金：根据相关法律规定和标准进行计算（如涉及残疾或死亡）。
四、解决途径及建议
协商解决：
- 首先，您可以尝试与邻居进行协商，说明漏水对老人造成的影响和损失，要求邻居承担相应的赔偿责任。在协商过程中，您可以出示收集到的证据，以支持您的主张。
调解解决：
- 如果协商无果，您可以考虑向社区、居委会或物业等第三方机构申请调解。调解机构可以协助双方进行沟通协商，促成双方达成和解协议。
诉讼解决：
- 如果调解无果或您不愿意通过调解解决纠纷，您可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提交相关证据和诉讼材料，以支持您的诉讼请求。法院将根据事实和法律规定进行判决，并要求邻居承担相应的赔偿责任。
建议：在处理此类纠纷时，建议您保持冷静和理性，避免与邻居发生冲突。同时，及时收集和保存相关证据，以便在需要时提供证明。如有需要，您可以随时向我咨询相关法律问题，我会为您提供专业的法律帮助。