面对交警查出车辆肇事逃逸却未及时处理的情况，您确实可以通过多种合法途径来维护自身权益。以下是一些详细且具有深度的建议，希望能帮助到您：

一、了解交警处理程序与时间要求

首先，您需要明确交警部门在处理肇事逃逸案件时的正常流程和时间要求。一般来说，交警在接到报案后会立即展开调查，包括勘查现场、收集证据、询问目击证人、调取监控视频等。根据《道路交通事故处理程序规定》，公安机关交通管理部门应在一定时间内制作道路交通事故认定书。如果交警未在规定时间内采取调查措施或跟进处理，可能存在不作为的情况。

二、与交警队沟通协商

1. 主动联系办案人员：

   • 您可以前往交警队的办公场所，找到负责该案件的交警，礼貌地询问案件进展情况，并表达您的关注和担忧。
   • 如果觉得当面沟通不便，也可以通过电话联系，但要注意选择合适的时间和语气。

2. 向上级交警部门反映情况：

   • 如果与办案人员的沟通没有效果，您可以向其上级交警部门进行反映。可以通过拨打当地交警支队的投诉电话或前往支队办公地点进行现场反映。
   • 在反映情况时，要详细说明事情的来龙去脉，包括事故发生的时间、地点、交警队的不作为表现等，并提供相关的证据材料，如报警记录、现场照片等。

三、申请监督和督促办理

1. 向公安机关督察部门投诉：

   • 公安机关督察部门负责对公安机关及其人民警察依法履行职责、行使职权和遵守纪律的情况进行监督。
   • 您可以写一份详细的投诉信，说明交警队在处理案件过程中存在的问题，并附上相关的证明材料，邮寄或直接送到督察部门。

2. 寻求检察机关的法律监督：

   • 检察机关具有法律监督职能，可以对公安机关的执法活动进行监督。
   • 您可以拨打检察服务热线或前往检察院控申科等方式提出申请，要求检察机关对交警队的不作为进行监督。

3. 向监察机关投诉：

   • 监察委员会负责对公职人员依法履职、秉公用权等情况进行监督。
   • 您可以通过书信、电话、网络举报平台等方式向当地监察机关投诉，明确指出涉事交警的相关信息及具体的不作为行为。

四、通过司法途径解决

1. 提起行政诉讼：

   • 如果上述途径都未能有效解决问题，您可以向有管辖权的人民法院提起行政诉讼，起诉交警部门行政不作为。
   • 需要撰写行政起诉状，明确原告和被告的基本信息，阐述诉讼请求、事实和理由，并准备好相关证据材料。

2. 提起民事诉讼：

   • 如果因为交警队的不作为导致您无法及时查明肇事逃逸者，从而造成了经济损失或其他损害，您可以考虑通过民事诉讼的方式来维护自己的合法权益。
   • 在诉讼过程中，需要提供充分的证据证明自己的损失以及交警队的不作为与自己的损失之间存在因果关系。

五、借助媒体和社会舆论力量

在确保不侵犯他人合法权益和不违反法律法规的前提下，您可以借助媒体的力量来引起社会的关注。比如，向当地的电视台、报纸等媒体反映情况，让更多的人了解到事件的真相，促使交警队重视并积极处理问题。但请注意，在利用媒体时要注意方式方法，避免出现不实报道或侵犯他人隐私等情况。

六、法律责任提醒

最后，需要提醒的是，根据《中华人民共和国道路交通安全法》等相关法律法规，肇事逃逸者将承担相应的法律责任，包括民事责任、行政责任和刑事责任。因此，肇事逃逸者应积极配合交警部门的调查处理，承担相应的法律责任。同时，您也应积极采取措施维护自身权益，确保肇事逃逸者受到应有的法律制裁。

综上所述，面对肇事逃逸且交警部门未予处理的情况，您有多种合法途径可供选择。重要的是要保持冷静、理性应对，并保留好相关证据以便更好地维护自身合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。