结论前置：刑事拘留后申请取保候审并没有严格的天数限制，是否可以申请以及何时能申请成功，主要取决于案件的具体情况、犯罪嫌疑人的个人表现及司法机关的审查和判断。
详细分析：
取保候审的申请时机：
- 取保候审的申请并不受拘留天数的严格限制，它可以在刑事诉讼的各个阶段提出，包括侦查阶段、审查起诉阶段和审判阶段。只要犯罪嫌疑人或被告人符合取保候审的条件，其本人、法定代理人、近亲属或辩护人都有权向办案机关提出申请。
取保候审的适用条件：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条，以下情形可以申请取保候审：
- 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
- 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；
- 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的；
- 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取强制措施的。
取保候审的审查与决定：
- 办案机关在收到取保候审申请后，会在三日内进行审查。审查过程中，会综合考虑案件的性质、情节、犯罪嫌疑人的个人表现以及社会危险性等因素。
- 如果办案机关认为犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，且不会对社会造成危险，就会作出同意取保候审的决定，并责令提出保证人或交纳保证金。
- 如果办案机关不同意取保候审，会告知申请人并说明理由。
不同阶段的申请难度：
- 在侦查阶段，特别是刑事拘留后的前37天内（包括公安机关提请人民检察院审查批准逮捕的时间），申请取保候审尤为关键。因为这段时间内，如果检察机关批准逮捕，再申请取保候审的难度通常会增大。
- 在审查起诉和审判阶段，虽然也可以申请取保候审，但此时案件已经相对明确，申请成功的难度可能因案情而异。
取保候审后的注意事项：
- 取保候审并不意味着犯罪嫌疑人或被告人可以完全自由。在取保候审期间，他们必须遵守相关规定，如不得离开指定地点、不得干扰案件调查等，并需配合司法机关的工作。
- 如果违反取保候审的规定，可能会导致取保候审被撤销，甚至被重新羁押。
法律建议：
- 如果你或你的亲友面临刑事拘留，并希望申请取保候审，建议尽快向我咨询。我可以根据案情、证据及犯罪嫌疑人的个人情况，提供针对性的法律意见和策略。
- 在申请取保候审时，务必准备充分的申请材料，明确阐述申请理由及拟采取的保证方式。这有助于提高申请的成功率。
总之，刑事拘留后申请取保候审并没有固定的天数限制，关键在于是否符合法定条件及司法机关的审查判断。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。