行政机关擅自支付被法院冻结的钱后，一般不能直接通过民事起诉追回这笔钱，但可以通过其他法律途径寻求救济。以下从不同角度进行分析：
一、行政机关擅自支付被冻结款项的性质
行政机关擅自支付被法院冻结的钱款，这一行为可能构成对法院执行措施的违反。法院冻结款项是基于法律程序，为了保障债权人的合法权益而采取的强制措施。行政机关作为公权力机关，应当遵守法院的裁定和执行措施，不得擅自处置被冻结的财产。
二、行政机关追回款项的法律途径
申请执行回转：
- 如果行政机关的支付行为被法院认定为错误，且该行为导致了财产的转移或损失，行政机关可以向法院申请执行回转。
- 执行回转是指执行完毕后，因原执行依据被撤销或变更，法院根据新的生效法律文书，采取强制措施，责令原申请执行人返还已取得的财产及其孳息的制度。
- 在此情况下，行政机关需要提供充分的证据证明原执行依据存在错误，且该错误导致了财产的转移或损失。
提起行政诉讼（针对具体行政行为）：
- 如果行政机关的支付行为是基于某个具体的行政行为（如行政决定、行政命令等），且该行政行为被认为违法或不当，那么相关利益方（如债权人）可以提起行政诉讼，请求法院撤销或变更该行政行为。
- 然而，这一途径主要是由利益受损方（如债权人）提起，而非行政机关自身。行政机关在此情况下更多是作为被告或相关方参与诉讼。
内部追责与赔偿：
- 行政机关内部可以对其擅自支付被冻结款项的行为进行追责，对相关责任人员进行纪律处分或行政处罚。
- 如果该行为给行政机关自身或第三方造成了损失，行政机关还可以根据内部规定或相关法律法规，要求相关责任人员进行赔偿。
三、民事起诉的适用性分析
- 民事起诉的主体与客体：民事起诉通常涉及平等主体之间的财产关系和人身关系纠纷。在行政机关擅自支付被冻结款项的情况下，行政机关并非作为平等主体参与民事关系，而是作为公权力机关违反了法院的执行措施。
- 民事起诉的局限性：由于行政机关的支付行为可能构成对法院执行措施的违反，而非单纯的民事纠纷，因此直接通过民事起诉追回款项可能面临法律上的障碍。民事诉讼更多是解决平等主体之间的纠纷，而行政机关与法院之间的执行关系不属于民事诉讼的调整范围。
四、建议与总结
- 建议行政机关及时与法院沟通：在发现擅自支付被冻结款项后，行政机关应立即与法院取得联系，说明情况并寻求解决方案。法院可能会根据具体情况，指导行政机关采取适当的法律措施。
- 加强内部管理与监督：行政机关应加强对内部财务和执行工作的管理与监督，确保类似事件不再发生。通过完善内部制度和流程，提高工作人员的法律意识和执行能力。
- 寻求专业法律帮助：如果行政机关在处理此类事件时遇到法律难题或不确定如何操作，建议及时咨询专业律师或法律机构，以获取准确的法律意见和指导。
总结来说，行政机关擅自支付被法院冻结的钱后，不能直接通过民事起诉追回这笔钱，但可以通过申请执行回转、提起行政诉讼（针对具体行政行为）或内部追责与赔偿等法律途径寻求救济。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。