劳务派遣农民工受伤，责任主要由劳务派遣单位承担工伤保险责任，若用工单位存在过错，则也需承担相应的补充赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：
一、劳务派遣单位的责任
工伤保险责任：
- 劳务派遣单位作为用人单位，有义务为被派遣劳动者（包括农民工）缴纳工伤保险费，并承担由此产生的工伤保险责任。
- 当劳务派遣员工发生工伤事故时，劳务派遣单位应向社会保险行政部门提出工伤认定申请，并确保员工依法享受工伤保险待遇。
- 若劳务派遣单位未按规定缴纳工伤保险，则需按照工伤保险待遇项目和标准，向受伤员工支付全部相关费用。
法定义务：
- 劳务派遣单位需履行用人单位对劳动者的所有义务，包括保障员工工作安全。
- 在员工因工作原因受伤时，劳务派遣单位应负责支付工伤期间的工资福利待遇等。
二、用工单位的责任
过错责任：
- 如果用工单位给被派遣劳动者造成了损害，且该损害是由于用工单位的过错（如提供不符合规定的劳动安全设施、违规指挥等）导致的，用工单位需承担相应的赔偿责任。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用工单位在某些情况下可能与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。
劳动保护与条件：
- 用工单位应执行国家劳动标准，为劳务派遣员工提供与直接雇佣员工相同的劳动保护和劳动条件。
- 若用工单位未能提供必要的劳动保护和条件，导致员工受伤，用工单位应承担相应的责任。
三、具体责任划分场景
常规情形（派遣单位已参保）：
- 若劳务派遣单位为工人购买了工伤保险，则医疗费用等工伤待遇由工伤保险基金支付。
- 一次性伤残补助金、伤残津贴等长期待遇同样由基金承担。
- 停工留薪期工资、护理费等需派遣单位另行支付。
特殊情形（派遣单位未参保/未足额缴费）：
- 若因派遣单位未履行缴费义务导致无法享受保险待遇，则全部工伤赔偿费用（包括医疗费、伤残补助、误工损失等）均由派遣单位承担。
- 用工单位存在过错的（如明知派遣单位未参保仍使用劳务人员），可能需承担连带赔偿责任。
用工单位直接责任情形：
- 在极端情况下，若用工单位存在重大过失或故意行为（例如强令冒险作业导致事故），可能被认定为直接责任方，需独立承担赔偿责任。
四、劳务派遣员工的权益保障
- 劳务派遣员工享有与用工单位直接雇佣员工相同的劳动保护和劳动条件。
- 劳务派遣员工有权要求用工单位支付加班费、绩效奖金以及与工作岗位相关的福利待遇。
- 在受伤时，劳务派遣员工应首先向劳务派遣单位主张工伤保险待遇，同时可根据实际情况向用工单位主张补充赔偿责任。
五、实际操作建议
- 及时申请工伤认定：受伤员工或其近亲属应在事故发生之日起1年内向社保部门提出工伤认定申请，以确保能够享受工伤保险待遇。
- 保留相关证据：员工应保留与工伤事故相关的所有证据，如医疗记录、工作记录、证人证言等，以便在需要时证明自己的权益。
- 寻求法律援助：如果员工在工伤赔偿过程中遇到困难或争议，可以寻求专业律师的帮助，以维护自己的合法权益。
举例说明：假设一位劳务派遣的农民工在用工单位工作时受伤，如果劳务派遣单位已经为其缴纳了工伤保险，那么该农民工的医疗费用等将由工伤保险基金支付。同时，劳务派遣单位需要支付其停工留薪期的工资和护理费等。如果用工单位在事故中存在过错，如未提供必要的安全设施或违规指挥等，那么用工单位也需要承担相应的赔偿责任。
综上所述，劳务派遣农民工受伤时，责任的承担需综合考虑劳务派遣单位和用工单位的具体行为、法律规定以及双方之间的协议约定。为确保劳动者的合法权益得到充分保障，两者可能需共同承担责任。如果您或您身边的人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。