敲诈勒索案件主要由公安机关负责侦查，检察院则负责审查逮捕和审查起诉，法院负责审判。以下是对这一问题的详细解答：
一、公安机关的侦查职责
敲诈勒索罪是一种严重的刑事犯罪行为，其侦查工作主要由公安机关负责。公安机关在接到报案后，会依法开展侦查活动，包括讯问犯罪嫌疑人、询问证人、勘验检查犯罪现场、搜查与案件有关的场所和物品、查封扣押相关证据以及进行鉴定等。通过这些措施，公安机关能够查明犯罪事实，收集犯罪证据，并最终抓获犯罪嫌疑人。
二、检察院的审查逮捕和审查起诉职责
审查逮捕：
- 当公安机关对敲诈勒索案进行侦查，并认为需要逮捕犯罪嫌疑人时，会提请检察院审查批准。
- 检察院的侦查监督部门（或捕诉部门）会对公安机关移送的材料进行全面审查，评估证据是否确凿、犯罪嫌疑人是否有社会危险性等，然后作出是否批准逮捕的决定。
审查起诉：
- 公安机关侦查终结后，会将案件移送检察院审查起诉。
- 检察院的公诉部门（或捕诉部门）会对案件进行全面细致的审查，包括案件事实、证据、适用法律等方面。
- 如果认为犯罪事实已经查清，证据确实、充分，依法应当追究刑事责任的，就会向人民法院提起公诉；如果认为证据不足，可能会退回公安机关补充侦查，或者自行侦查。
三、法院的审判职责
- 法院在接到检察院提起的公诉后，会依法进行审判。
- 审判过程中，法院会听取控辩双方的意见，审查证据，并根据法律规定作出判决。
- 如果判决有罪，法院会确定刑罚种类和刑期；如果判决无罪，则会释放被告人。
四、特殊情形下的部门管辖
虽然敲诈勒索案主要由公安机关负责侦查，但在某些特殊情形下，侦查部门可能会有所不同：
- 军队内部人员犯罪：如果敲诈勒索犯罪涉及军队内部人员，可能由军队保卫部门进行侦查。
- 监狱内犯罪：若犯罪发生在监狱内，则由监狱负责侦查。
- 国家工作人员利用职权犯罪：如国家工作人员利用职务之便实施敲诈勒索，可能由人民检察院或国家安全机关等部门立案侦查。
- 网络敲诈勒索：对于通过网络手段实施的敲诈勒索行为，可以由犯罪嫌疑人居住地、网络接入地、网站建立地等的公安机关立案侦查。
五、建议与提醒
- 如果您或您身边的人遭遇了敲诈勒索行为，应立即向当地的公安机关报案。他们会根据案件性质和情况，依法开展侦查工作，保护您的合法权益不受侵害。
- 在报案时，请尽可能提供详细的线索和证据，如犯罪嫌疑人的身份信息、作案手段、作案时间地点等，以便公安机关能够更快地破案并追回损失。
- 如果您对案件的处理过程或结果有任何疑问或不满，可以向检察院的控告申诉检察部门提出申诉或控告，他们会依法处理并保障您的合法权益。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。