结论：教师上班期间在公寓楼梯摔伤是否属于工伤，需根据具体情况综合判断，主要考虑摔伤的时间、地点、原因及是否存在特殊情况。若符合《工伤保险条例》规定的工伤认定条件，且不存在排除情形，则可认定为工伤。

一、工伤认定的基本条件

根据《工伤保险条例》第十四条，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。这包括“工作时间”、“工作场所”和“工作原因”三个关键方面。对于教师这一职业，我们需要结合其工作特点来具体分析。

1. 工作时间：教师的工作时间不仅限于课堂教学时间，还包括备课、批改作业、参加学校会议、进行课外辅导等与工作直接相关的时间。若摔伤发生在这些时间段内，则符合工作时间的要求。

2. 工作场所：教师的工作场所不仅限于教室，还包括办公室、图书馆、实验室、操场以及学校安排的公寓等。若摔伤发生在这些场所内，特别是学校安排的公寓楼梯上，且该公寓与教师的工作有直接关联（如作为教师宿舍使用），则符合工作场所的要求。

3. 工作原因：这是判断是否构成工伤的关键。若教师摔伤是因为执行工作任务、从事与工作有关的活动（如赶去上课、参加会议、取教学材料等）或由于工作环境的不安全因素（如公寓楼梯湿滑、设施损坏等）导致，则通常会被认定为工伤。

二、具体分析

1. 若摔伤符合工作原因：

   • 若教师是在赶去上课、参加会议或取教学材料等与工作直接相关的活动中，在公寓楼梯上摔伤，且该公寓是学校安排的教师宿舍，与工作有直接关联，则通常会被认定为工伤。
   • 若摔伤是由于公寓楼梯湿滑、设施损坏等工作环境的不安全因素导致，且教师是在正常的工作时间内、在工作场所内（即公寓内）摔伤，同样可能被认定为工伤。

2. 若摔伤不符合工作原因：

   • 若教师是在公寓楼梯上嬉戏打闹、个人疏忽等与工作无关的行为导致摔伤，则可能不被认定为工伤。
   • 若摔伤是由于教师自身故意犯罪、醉酒或吸毒、自残或自杀等《工伤保险条例》明确排除的情形导致，则不能认定为工伤。

三、特殊情况处理

• 集体活动：若教师参加学校统一组织的集体活动（如团建、文体比赛）时，在公寓楼梯上摔伤，且该活动与工作有直接关联，这通常被视为工作原因，可认定为工伤。
• 排除情形：如前所述，若摔伤是由于教师自身故意犯罪、醉酒或吸毒、自残或自杀等情形导致，则不能认定为工伤。

四、申请与认定流程

若教师认为自己的摔伤符合工伤认定条件，可由所在学校或其本人、近亲属在规定时间内向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。劳动保障行政部门将根据实际情况进行审查，并作出是否认定为工伤的决定。

五、建议与注意事项

1. 及时申请：教师应在摔伤后尽快向学校或相关部门报告，并按照规定的程序提出工伤认定申请，以确保自己的合法权益得到保障。
2. 保留证据：在申请工伤认定时，教师应提供相关证据（如医疗证明、事故现场照片、证人证言等）来支持自己的主张。
3. 了解政策：教师应了解当地的工伤保险政策和相关规定，以便在必要时采取正确的行动。

综上所述，教师上班期间在公寓楼梯摔伤是否属于工伤，需根据具体情况综合判断。若符合工伤认定的基本条件，且不存在排除情形，则可向相关部门提出工伤认定申请。具体是否构成工伤，还需由劳动保障行政部门根据实际情况进行最终认定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。