结论：员工被行政拘留时，公司是否有权辞退需综合考虑劳动合同、公司规章制度、员工行为对公司的影响等多方面因素。若员工行为严重违反公司规章制度或影响劳动合同的履行，且公司规章制度制定程序合法，公司有权辞退；否则，公司无权随意辞退。
详细分析：
公司规章制度明确规定的情况：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。若公司规章制度经过合法制定程序（如职工代表大会讨论、与工会协商等），且明确将员工被行政拘留列为严重违反规章制度的行为，公司可据此辞退员工。例如，某公司规章制度中明确规定，员工若因违法行为被行政拘留，视为严重违反公司纪律，公司有权解除劳动合同。在此情况下，公司辞退员工是合法的。
员工行为严重影响公司的情况：
- 即使公司规章制度未明确规定，若员工被行政拘留的行为严重影响了公司的正常工作秩序或给公司造成了重大损害，公司也有权依据《劳动合同法》第三十九条的相关条款解除劳动合同。特别是当员工岗位涉及公共安全、保密等特殊性质时，其被行政拘留可能导致公司面临重大风险或声誉损失，公司有权辞退。例如，某员工因酒驾被行政拘留，而其岗位是公司司机，负责接送重要客户，此时公司因其行为严重影响公司业务，有权辞退该员工。
公司规章制度未规定或制定程序不合法的情况：
- 若公司规章制度中未将员工被行政拘留列为可以解除劳动合同的情形，或规章制度的制定未遵循法定程序，公司不能以此为由辞退员工。例如，某公司规章制度未提及员工被行政拘留的处理方式，且该制度制定时未经过职工代表大会讨论，此时公司若以员工被行政拘留为由辞退，可能构成违法解除劳动合同。
未考虑工会意见的情况：
- 在某些情况下，工会的意见也是决定公司能否辞退员工的重要因素。若公司未征求工会意见或工会不同意辞退，公司可能无权单方面辞退员工。例如，某公司拟辞退一名被行政拘留的员工，但未征求工会意见，工会表示反对，此时公司若坚持辞退，可能面临法律风险。
员工权益保护：
- 若公司辞退被行政拘留员工的行为不符合法律规定或公司合法有效的规章制度，员工有权通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。员工可以要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金，以弥补因不当辞退所造成的经济损失。赔偿金的具体数额根据员工在公司的工作年限、工资水平等因素确定。
建议：
- 对于公司而言，在处理员工被行政拘留的情况时，应首先审查自身的规章制度，确保其合法性、有效性和公示性。同时，应客观评估员工被行政拘留的行为对公司造成的实际影响，包括对工作任务的完成、工作秩序的维护以及公司形象的损害等。最后，公司应根据规章制度和员工行为影响的评估结果，依法作出是否解除劳动合同的决策，并确保整个过程的合法合规性。
- 对于员工而言，应了解自己的权益保护措施，以便在必要时维护自己的合法权益。若认为公司的辞退行为违法或不合理，可以通过劳动仲裁或诉讼等途径寻求救济。
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