结论：侵犯商标已经承担刑事责任后，商家又提起民事赔偿，一般情况下不会直接影响减刑，但在特定情况下可能间接影响。以下从不同角度详细分析：
一、刑事责任与民事赔偿的基本关系
刑事责任：这是因犯罪行为而应承担的法律责任，由国家司法机关依据刑事法律进行追究，主要目的是惩罚犯罪和预防犯罪。在侵犯商标权的案件中，如果构成犯罪，犯罪嫌疑人将面临刑罚，如有期徒刑、罚金等。
民事赔偿：这是因侵权行为而应承担的民事责任，由侵权人向被侵权人进行赔偿，主要目的是弥补被侵权人的损失。在侵犯商标权的案件中，商家作为被侵权人，有权要求侵权人承担民事赔偿责任。
二、民事赔偿对减刑的直接影响
一般情况：刑事责任和民事赔偿是两个独立的法律责任体系，承担民事赔偿责任并不会直接导致刑罚的减轻或免除。也就是说，即使侵权人已经承担了民事赔偿责任，这并不会直接影响其已经或即将承担的刑事责任，包括刑罚的种类和期限。
法律依据：根据《中华人民共和国刑法》及相关司法解释，减刑的条件主要包括认真遵守监规、接受教育改造、确有悔改表现或立功表现等。民事赔偿的承担并不直接构成减刑的法定条件。
三、民事赔偿对减刑的间接影响
悔罪表现：虽然民事赔偿不是减刑的直接条件，但侵权人积极承担民事赔偿责任，可以视为其认罪悔罪的一种表现。在司法实践中，法院在考虑减刑时，会综合评估犯罪人的悔罪表现，包括是否积极赔偿被害人损失、是否取得被害人谅解等因素。因此，积极承担民事赔偿责任可能在一定程度上增加犯罪人获得减刑的机会。
社会效果：侵权人积极承担民事赔偿责任，也有助于修复被破坏的社会关系，促进社会和谐。这种积极的社会效果也可能在司法实践中被考虑，从而间接影响减刑的裁定。
四、具体建议
积极承担民事赔偿责任：如果侵权人确实侵犯了商家的商标权，并因此承担了刑事责任，那么建议其积极与商家协商，承担民事赔偿责任。这不仅可以弥补商家的损失，也有助于展示自己的悔罪态度，为将来的减刑申请创造有利条件。
咨询专业律师：在处理此类案件时，建议侵权人咨询专业律师，了解具体的法律程序和减刑条件。律师可以根据案件的具体情况，为侵权人提供有针对性的法律建议和辩护策略。
关注司法实践：由于司法实践在不同地区和不同案件中可能存在差异，因此侵权人应关注当地司法实践中的相关案例和裁判标准，以便更好地了解自己的法律处境和可能的法律后果。
最后，侵犯商标已经承担刑事责任后，商家又提起民事赔偿，一般情况下不会直接影响减刑，但在特定情况下可能通过展示悔罪态度和社会效果间接影响减刑的裁定。如果你或你身边的人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。