结论：老年痴呆患者躺在马路上被撞死，一般情况下，肇事者不承担刑事责任，但可能需承担民事赔偿责任；若肇事者存在故意或重大过失，则可能需承担刑事责任。以下是对此问题的详细分析：
一、肇事者一般不承担刑事责任的情况
无过错原则：
- 在交通事故中，如果肇事者没有违反交通法规，且已经采取了合理的避让措施，但由于老年痴呆患者突然出现在马路上，导致无法避免碰撞，那么肇事者通常不承担刑事责任。
- 这种情况下，事故的发生往往被视为意外事件，肇事者无需为无法预见和避免的结果承担刑事责任。
民事赔偿责任：
- 尽管肇事者可能不承担刑事责任，但根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如果肇事者的行为与老年痴呆患者的死亡之间存在因果关系，肇事者可能需要承担一定的民事赔偿责任。
- 民事赔偿的范围通常包括死亡赔偿金、丧葬费、被扶养人生活费等，具体数额需根据案件实际情况和法律规定进行计算。
二、肇事者可能承担刑事责任的情况
故意或重大过失：
- 如果肇事者存在故意或重大过失，如酒驾、超速、闯红灯等违法行为，导致老年痴呆患者被撞死，那么肇事者可能需要承担刑事责任。
- 在这种情况下，肇事者的行为已经构成了犯罪，如交通肇事罪，将受到法律的制裁。
刑事责任的认定：
- 刑事责任的认定需要综合考虑肇事者的行为、过错程度、事故后果以及社会危害性等因素。
- 如果肇事者的行为被认定为犯罪，那么将面临刑事处罚，如有期徒刑、拘役或罚金等。
三、特殊情况下的责任认定
老年痴呆患者的监护人责任：
- 如果老年痴呆患者的监护人未尽到监护职责，导致患者独自出现在马路上并发生事故，那么监护人可能需要承担一定的责任。
- 这种情况下，监护人的责任通常与肇事者的责任相互独立，但可能影响民事赔偿的分配。
道路管理部门的责任：
- 如果道路管理部门未尽到管理职责，如道路设施不完善、交通标志不清晰等，导致事故发生，那么道路管理部门也可能需要承担一定的责任。
- 这种情况下，道路管理部门的责任通常与肇事者的责任相互独立，但同样可能影响民事赔偿的分配。
建议：在处理此类案件时，应首先确保老年痴呆患者的家属得到及时的安抚和赔偿协商。同时，建议肇事者积极配合调查，如实陈述事故经过，以便相关部门准确认定责任。如有需要，可寻求专业律师的帮助，以维护自身合法权益。若您有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询。