私自在判决书上添加遗漏内容是不合法且无效的行为，正确的补救方式应当是通过合法程序来修正判决书中的遗漏。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
一、私自添加遗漏内容的法律后果
- 无效性：判决书是法院依法作出的具有法律效力的文书，其内容和形式均需严格遵守法律规定。私自添加遗漏内容，无论出于何种目的，都改变了判决书的原始状态，使其失去了原有的法律效力。
- 法律责任：私自修改判决书可能构成伪造、变造国家机关公文罪等刑事犯罪，依法应承担刑事责任。同时，如果因此给他人造成损失，还可能面临民事赔偿等法律责任。
二、合法补救方式
申请补正裁定：
- 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》等相关法律规定，如果判决书存在笔误或者计算错误等遗漏情况，当事人可以向法院申请补正裁定。
- 操作流程：当事人应向作出判决书的法院提交书面申请，说明遗漏的具体内容、原因及补正建议。法院在审查后，如果认为申请有理，会作出补正裁定，对判决书中的遗漏进行修正。
申请再审：
- 适用情形：如果判决书中的遗漏内容涉及案件事实认定、法律适用等重大问题，且可能影响案件的判决结果，当事人可以向法院申请再审。
- 操作流程：当事人应向上一级法院提交再审申请书，说明再审的理由、事实和法律依据。法院在审查后，如果认为符合再审条件，会裁定再审，并对案件进行重新审理。
三、注意事项
- 及时行动：一旦发现判决书存在遗漏，当事人应尽快采取行动，通过合法程序进行补救。拖延时间可能导致补救难度增加，甚至失去补救机会。
- 保留证据：在申请补正裁定或再审时，当事人应保留好相关证据，如判决书原件、遗漏内容的证明材料等，以便在申请过程中提供有力支持。
- 遵守法律程序：在补救过程中，当事人应严格遵守法律程序，不得采取私自添加遗漏内容等非法手段。否则，不仅无法达到补救目的，还可能面临法律责任。
总结来说，私自在判决书上添加遗漏内容是不合法且无效的行为。正确的补救方式应当是通过申请补正裁定或再审等合法程序来修正判决书中的遗漏。如果你在处理此类问题时遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。