结论：居民砍树打断网络是否违法，需根据具体情况判断，可能涉及民事侵权、行政违法甚至刑事犯罪。以下从不同角度详细分析：
一、民事侵权角度
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。”
- 若居民砍树时未尽到合理注意义务，导致网络线路被打断，造成网络服务中断或损失，可能构成对网络服务提供者或用户的侵权。
责任承担：
- 侵权居民需承担修复网络线路的费用、网络服务中断期间的损失赔偿等民事责任。
- 若因网络中断导致用户遭受其他损失（如商业机会丧失、数据丢失等），侵权居民也可能需承担相应赔偿责任。
举证责任：
- 网络服务提供者或用户需证明网络中断与居民砍树行为之间存在因果关系，以及因网络中断所遭受的具体损失。
二、行政违法角度
法律依据：
- 若砍树行为违反了当地关于树木保护、城市绿化或电力设施保护等相关行政法规，居民可能面临行政处罚。
- 例如，根据《城市绿化条例》等相关规定，未经许可砍伐城市树木可能面临罚款、补种树木等行政处罚。
处罚措施：
- 行政机关可根据违法情节的轻重，对居民处以警告、罚款、责令补种树木等行政处罚。
三、刑事犯罪角度（极端情况）
法律依据：
- 在极少数情况下，若居民砍树行为故意或过失导致重大网络中断事故，造成严重后果，可能构成破坏公用电信设施罪等刑事犯罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》第一百二十四条：“破坏广播电视设施、公用电信设施，危害公共安全的，处三年以上七年以下有期徒刑；造成严重后果的，处七年以上有期徒刑。”
构成要件：
- 需满足“故意或过失破坏公用电信设施”、“危害公共安全”以及“造成严重后果”等构成要件。
- 实践中，此类案件较为罕见，通常需达到非常严重的后果才会构成刑事犯罪。
四、建议与措施
预防措施：
- 居民在砍树前应了解当地关于树木保护、电力设施保护等相关规定，确保砍树行为合法合规。
- 若砍树可能影响网络线路等公共设施，应提前与相关部门或网络服务提供者沟通协调，采取必要保护措施。
纠纷解决：
- 若发生网络中断等纠纷，居民应积极与网络服务提供者或用户协商解决，承担相应责任。
- 若协商无果，可寻求法律途径解决纠纷，如通过诉讼或仲裁等方式明确责任归属和赔偿金额。
总结：居民砍树打断网络是否违法需根据具体情况判断。在大多数情况下，可能构成民事侵权或行政违法；在极少数情况下，若造成严重后果可能构成刑事犯罪。因此，建议居民在砍树前充分了解相关规定并采取必要预防措施，以避免不必要的法律纠纷和损失。如有任何疑问或需要进一步法律帮助，请直接向我咨询。