面对肇事逃逸且交警部门未作出责任认定或未予处理的情况，您确实需要采取一系列措施来有效维护自身权益。以下是我为您整理的详细步骤和建议：
一、主动与交警部门沟通
了解未处理原因：
- 首先，建议您携带相关身份证明材料和事故相关证据，如现场照片、视频记录等，前往负责事故处理的交警部门。
- 礼貌且理性地询问交警部门未作出责任认定或未予处理的具体原因，可能是案件复杂性、调查难度大或证据收集不充分等。
提供补充证据：
- 确保您已向交警部门提交了所有与事故相关的证据。如果交警部门表示证据不足，您应积极配合，提供更多可能的证据，如目击者证言、行车记录仪视频等。
沟通催促进度：
- 在与经办交警沟通时，若了解到延迟是出于合理原因，可与交警协商确定一个大致的责任认定时间节点。
- 请求交警在有新进展时及时告知您，以便您能及时了解案件动态。
二、利用内部和外部监督途径
向上级部门反映：
- 如果与经办交警沟通无果，您可以准备详细的书面材料，向上级交警部门（如交警支队的法制科或信访部门）反映情况。
- 在书面材料中，明确提出您希望上级部门督促下级尽快完成责任认定或处理案件的诉求，并提供相关证据支持。
提出书面复核申请：
- 考虑向上级公安机关交通管理部门提出书面复核申请，详细说明事故情况及您认为交警处理不当的理由。
- 复核申请应包含您的基本信息、被申请人信息、申请复核的具体事项、事实和理由，并附上相关证据。
借助其他监督力量：
- 您还可以向政府信访部门投诉，要求对交警部门的不作为进行调查和处理。
- 拨打政务服务热线（如12345），描述您的问题并请求跟踪处理进度。
- 如果认为交警部门存在违法失职行为，还可以向当地人民检察院控告申诉检察部门反映情况。
三、考虑法律救济途径
行政复议：
- 根据《行政复议法》，您可以在知道具体行政行为之日起六十日内，向作出该行为的交警部门的本级人民政府或上一级主管部门提交行政复议申请书。
- 在申请书中，要求责令交警部门依法履行职责，作出责任认定或处理案件。
行政诉讼：
- 如果行政复议未能解决问题或您对复议结果不满意，依据《行政诉讼法》，您可以向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。
- 在诉讼中，以交警部门不作为为由，要求法院判决其在一定期限内作出事故责任认定或处理案件。
四、寻求专业法律帮助
- 在整个过程中，我建议您考虑咨询或聘请专业律师。律师能够评估案件实际情况，提供专业法律建议，并指导您如何采取进一步行动以最大化维护个人权益。
五、保持冷静与理性
- 在处理此类问题时，保持冷静和理性至关重要。尊重执法部门权威的同时，通过合法途径表达诉求，有助于推动问题的有效解决。
- 持续关注案件进展，以便及时应对可能出现的各种情况。
综上所述，面对肇事逃逸且交警部门未予处理的情况，您应综合运用主动沟通、内部和外部监督、法律救济等多种手段来维护自身权益。希望这些建议能对您有所帮助。