在工厂开除员工时，赔偿问题的确定是一个严谨且需要依据具体法律条款的过程。以下是对工厂开除员工赔偿问题的详细解答：

一、无需支付赔偿的情形

如果员工存在以下过错，并且工厂能够依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条提供充分证据，那么工厂解除劳动合同是无需支付赔偿的：

1. 试用期间不符合录用条件：工厂需明确招聘时的录用标准，并证明员工未达到这些标准。
2. 严重违反规章制度：工厂的规章制度必须合法制定、公示，并且员工确实存在严重违反的行为，如多次旷工、严重违反操作流程等。
3. 严重失职、营私舞弊：员工的行为必须给工厂造成了重大损害，损害程度需以规章制度或行业惯例为准。
4. 双重劳动关系影响工作：员工同时与其他用人单位建立劳动关系，且对完成本厂工作任务造成了严重影响，或经提醒拒不改正。
5. 劳动合同无效：因员工欺诈、胁迫等手段使工厂在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同。
6. 被依法追究刑事责任：员工因犯罪被人民法院判处刑罚。

二、需支付经济补偿的情形

在以下情形下，工厂解除劳动合同需要支付经济补偿：

1. 协商一致解除劳动合同：如果工厂与员工协商一致解除劳动合同，经济补偿的标准由双方自行约定。
2. 无过失性辞退：根据《劳动合同法》第四十条，如果员工因非过失性原因（如患病或非因工负伤在医疗期满后不能从事原工作、不胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任等）被工厂解除劳动合同，工厂应支付经济补偿金。经济补偿金的计算方式为：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
3. 经济性裁员：在符合法定条件的情况下，工厂可以进行经济性裁员，并依法支付经济补偿金，计算方式与上述无过失性辞退相同。

三、违法解除需支付赔偿金的情形

如果工厂违反《劳动合同法》的规定解除劳动合同，如无故辞退员工或在员工处于特殊保护期间（如孕期、产期、哺乳期）解除劳动合同，工厂应依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。即，除了原本应支付的经济补偿金外，还需额外支付一倍作为赔偿金。

四、特殊情况的赔偿考虑

1. 未提前通知的代通知金：如果工厂没有提前三十日以书面形式通知员工本人就解除劳动合同，需要额外支付员工一个月工资作为代通知金。但需注意，并非所有情况下都适用代通知金，具体取决于解除合同的法律依据。
2. 未支付劳动报酬或经济补偿的加付赔偿金：如果工厂存在拖欠工资、加班费或经济补偿等行为，且逾期不支付的，劳动行政部门可以责令其支付，并按照应付金额的50%以上100%以下的标准向员工加付赔偿金。

五、赔偿的具体操作建议

1. 了解法律依据：员工应首先了解《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规中关于解除劳动合同和经济补偿的规定。
2. 收集证据：保留好劳动合同、工资条、考勤记录、解雇通知书等证据材料，以便在需要时证明自己的权益。
3. 与工厂协商：尝试与工厂进行协商，争取达成合理的赔偿协议。
4. 申请劳动仲裁或提起诉讼：如果协商无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的还可以向人民法院提起诉讼。

综上所述，工厂开除员工的赔偿问题需要根据具体情况和法律规定来确定。工厂应严格遵守相关法律法规，确保在解除劳动合同时做到合法、合规，避免不必要的法律纠纷。同时，员工也应了解自己的权益，如认为工厂存在违法解除行为，可依法维护自己的合法权益。