劳动仲裁一裁终局后，申请执行的情况下，劳动者和用人单位的起诉权利是不同的，具体分析如下：
劳动者的起诉权：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第四十七条和第四十八条，对于小额（不超过当地月最低工资标准十二个月金额）和标准明确的劳动争议案件，仲裁庭作出的裁决为终局裁决。但劳动者对终局裁决不服的，有权在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。这意味着，即使裁决已经生效并申请执行，劳动者仍然有权通过司法途径寻求进一步救济。
用人单位的起诉权限制：
- 用人单位在一般情况下不能直接对终局裁决提起诉讼。这是为了维护仲裁裁决的权威性和稳定性，避免不必要的诉讼资源浪费。
- 但是，如果用人单位有证据证明终局裁决存在特定情形（如适用法律、法规确有错误；劳动争议仲裁委员会无管辖权；违反法定程序；裁决所根据的证据是伪造的；对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据；仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为等），可以自收到仲裁裁决书之日起三十日内向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。
- 若人民法院裁定撤销终局裁决，用人单位可以自收到裁定书之日起十五日内就该劳动争议事项向人民法院提起诉讼。
法律建议：
- 对于劳动者：如果对终局裁决不服，应及时在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，以维护自身合法权益。
- 对于用人单位：如果认为终局裁决存在错误，应积极收集证据，并在收到仲裁裁决书之日起三十日内向中级人民法院申请撤销裁决。若裁决被撤销，再考虑是否提起诉讼。
可能后果：
- 如果劳动者在规定期限内提起诉讼，法院将重新审理案件，并可能作出与仲裁裁决不同的判决。
- 如果用人单位申请撤销裁决并成功，将有机会通过诉讼途径解决争议；如果申请撤销未成功，则需履行仲裁裁决或面临强制执行。
总结：劳动仲裁一裁终局后，申请执行的情况下，劳动者和用人单位的起诉权利是受到严格限制的。劳动者在特定条件下有权提起诉讼，而用人单位则主要通过申请撤销裁决的方式来寻求法律救济。因此，在处理劳动争议时，当事人应充分了解自己的权利和义务，并在规定期限内行使救济权利。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。