结论：欠信用卡三千元存在被起诉的可能性，但具体是否会被起诉需综合考虑多种因素，包括欠款时间、还款态度、银行政策等。即便不被立即起诉，逾期不还也会对个人信用造成严重影响，并可能产生额外的逾期利息和滞纳金。

详细分析：

1. 银行的起诉权利：

   • 从法律层面讲，银行作为债权人，在持卡人未能按信用卡领用合同的约定按时偿还欠款时，即构成违约。银行有权通过法律途径追讨欠款，无论欠款金额大小，理论上均可向法院提起诉讼。因此，欠信用卡三千元，银行是有权起诉的。

2. 实际起诉考量因素：

   • 欠款时间：在欠款初期，银行通常会通过电话、短信等方式进行催收。若欠款持续数月甚至更长时间，且经多次有效催收仍未得到偿还，银行起诉的可能性会显著增加。
   • 还款态度：持卡人的还款意愿和态度对银行决策有重要影响。若持卡人积极与银行沟通，表达还款意愿，并付诸实际行动（如每月部分还款），银行通常倾向于通过协商而非诉讼方式解决欠款问题。相反，若持卡人故意躲避或拒绝还款，被起诉的风险会显著增加。
   • 银行政策：不同银行对信用卡欠款的处理方式和策略各不相同。有的银行倾向于通过协商解决，而有的则可能在欠款达到一定期限或金额后采取更激进的追讨措施，包括起诉。

3. 逾期还款的其他风险：

   • 即便不被立即起诉，逾期还款也会对个人信用记录造成严重影响。这可能导致未来申请贷款、信用卡等金融服务时遇到困难，甚至影响就业和租房等方面。
   • 根据相关法律法规，借款人未按照约定的期限返还借款的，应当按照约定或者国家有关规定支付逾期利息和滞纳金。这意味着欠款金额会随时间推移而增加，进一步加重持卡人的经济负担。

4. 法律后果与建议：

   • 若持卡人被银行起诉且败诉，将面临承担诉讼费用、逾期利息、滞纳金等经济负担，甚至可能被法院强制执行，如冻结银行账户、查封财产等。
   • 因此，建议持卡人务必重视信用卡还款问题，尽量按时足额还款。如遇还款困难，应及时与银行联系，说明情况并协商制定可行的还款计划。通过与银行积极沟通，不仅可以避免法律纠纷，还能保护个人信用记录不受损害。

总结：虽然欠信用卡三千元不一定会被立即起诉，但逾期不还的后果仍然十分严重。为了避免不必要的麻烦和损失，建议持卡人务必按时还款，并在遇到还款困难时积极与银行沟通寻求解决方案。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。