针对您提出的“虚开动物检疫发票构成什么罪”的问题，这实际上涉及到的是虚开动物检疫证的法律责任问题。根据相关法律法规及律师见解，虚开动物检疫证可能构成以下几种罪名，具体取决于行为性质、情节严重程度以及行为人的身份：

一、伪造、变造、买卖国家机关公文、证件、印章罪

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第二百八十条第一款，伪造、变造、买卖国家机关的公文、证件、印章的，构成此罪。

2. 构成要件：

   • 行为人实施了伪造、变造或买卖国家机关证件的行为。
   • 动物检疫证属于国家机关证件的范畴。

3. 行为表现：

   • 包括没有实际检疫情况而开具虚假的检疫证明（即伪造、变造）。
   • 将虚开的动物检疫证有偿提供给他人（即买卖）。

4. 法律责任：

   • 处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金。
   • 情节严重的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。

二、非法经营罪

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第二百二十五条，违反国家规定，扰乱市场秩序，情节严重的，构成非法经营罪。

2. 构成要件：

   • 行为人实施了违反国家规定的行为。
   • 该行为扰乱了市场秩序，且情节严重。

3. 行为表现：

   • 通过虚开动物检疫证帮助不符合要求的动物产品进入市场流通。

4. 法律责任：

   • 处五年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处违法所得一倍以上五倍以下罚金。
   • 情节特别严重的，处五年以上有期徒刑，并处违法所得一倍以上五倍以下罚金或者没收财产。

三、动植物检疫徇私舞弊罪（针对检疫人员）

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，动植物检疫机关的检疫人员徇私舞弊，伪造检疫结果的，构成此罪。

2. 构成要件：

   • 行为人是动植物检疫机关的检疫人员。
   • 行为人出于私利，故意伪造检疫结果。

3. 行为表现：

   • 检疫人员虚开动物检疫证，以谋取私利。

4. 法律责任：

   • 处五年以下有期徒刑或者拘役。
   • 造成严重后果的，处五年以上十年以下有期徒刑。

四、动植物检疫失职罪（针对检疫人员）

1. 法律依据：

   • 同样根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，动植物检疫机关的检疫人员严重不负责任，对应当检疫的检疫物不检疫，或者延误检疫出证、错误出证的，构成此罪。

2. 构成要件：

   • 行为人是动植物检疫机关的检疫人员。
   • 行为人因疏忽大意或过于自信，未正确履行检疫职责。

3. 行为表现：

   • 检疫人员因失职导致虚开动物检疫证。

4. 法律责任：

   • 一般处三年以下有期徒刑或者拘役。

总结与建议

虚开动物检疫证的行为严重违反了国家法律法规，不仅破坏了市场秩序，还可能对公共卫生安全造成威胁。因此，我建议您：

• 加强监管：相关部门应加强对动物检疫证的监管力度，确保检疫工作的真实性和有效性。
• 严厉打击：对于涉嫌虚开动物检疫证的行为，应依法严厉打击，追究行为人的刑事责任。
• 咨询专业律师：如果您或他人涉嫌此类犯罪，建议尽快咨询专业律师或法律机构，以获取准确的法律意见和帮助。

希望以上解答能够对您有所帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时告知。