在孩子母亲极度伤心下答应的事，是否能作为证据，这主要取决于该“答应的事”的性质、形式以及是否满足证据的法定要求。以下从几个方面进行详细分析：

1. 证据的法定要求：

   • 根据我国法律，证据应当具有客观性、关联性和合法性。客观性指的是证据必须是真实存在的，不是主观臆断或虚构的；关联性指的是证据必须与案件事实有直接或间接的联系；合法性则要求证据的收集、提供和审查必须符合法律规定。
   • 在孩子母亲极度伤心下答应的事，如果以书面形式（如协议、承诺书等）固定下来，且内容明确、具体，与案件事实有关联，且收集过程合法，那么这样的书面材料是可以作为证据使用的。

2. 口头承诺的证据效力：

   • 如果“答应的事”是口头承诺，那么其作为证据的效力会相对较弱。因为口头承诺容易受到记忆、理解、表达等多种因素的影响，且难以直接证明其真实性和具体内容。
   • 但是，如果口头承诺有其他证据（如录音、录像、证人证言等）予以佐证，且这些证据能够相互印证，形成完整的证据链，那么口头承诺也是有可能被法院采信的。

3. 情绪状态对证据效力的影响：

   • 孩子母亲极度伤心的情绪状态，本身并不直接影响其答应的事的证据效力。但是，如果这种情绪状态导致了其答应的事并非出于真实意愿，或者是在受到胁迫、欺诈等情况下作出的，那么这样的承诺可能是无效的，或者可以被撤销。
   • 在这种情况下，如果对方主张该承诺有效，就需要承担举证责任，证明该承诺是在孩子母亲真实意愿下作出的，且没有受到任何不当影响。

4. 实际建议：

   • 如果您希望将孩子母亲在极度伤心下答应的事作为证据使用，建议您首先尝试将其以书面形式固定下来，并明确双方的权利和义务。
   • 如果已经是口头承诺，且您认为其具有重要性，那么建议您尽快收集其他相关证据（如录音、录像、证人证言等）予以佐证。
   • 在任何情况下，都建议您咨询专业律师的意见，以便更好地了解您的法律权益和可能的法律后果。

总结来说，在孩子母亲极度伤心下答应的事，是否能作为证据，取决于多种因素的综合考量。如果您面临这样的情况，建议您根据上述分析，结合实际情况，采取适当的措施来保护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。