结论：当欠款人去世且家人无力偿还其欠银行的伍仟元债务时，通常家人无需直接承担还款责任，但需根据具体情况处理遗产相关事宜。以下从多个角度详细分析：
一、家人通常无需直接承担还款责任
个人债务原则：
- 根据一般的法律原则，个人债务应由个人承担。欠款人去世后，其债务并不自动转移给家人，除非家人作为共同借款人或担保人参与了借款。
家人无还款义务的情形：
- 如果家人没有作为共同借款人或担保人，且没有继承欠款人的遗产，那么他们通常没有义务偿还欠款人的债务。
二、遗产处理与债务清偿
遗产继承与债务清偿顺序：
- 如果欠款人去世后留有遗产，根据法律规定，遗产应首先用于清偿被继承人的债务。这意味着，银行有权从欠款人的遗产中追讨债务。
- 遗产清偿债务的顺序通常遵循法定程序，即先清偿税费、债务，再分配剩余遗产给继承人。
家人作为继承人的情况：
- 如果家人继承了欠款人的遗产，那么他们需要在继承的遗产范围内承担还款责任。但这里的还款责任是有限的，即仅限于继承的遗产价值范围内。
- 计算公式（若需明确遗产价值与债务关系）：假设遗产总价值为X元，债务总额为Y元（包括欠银行的伍仟元），则家人需偿还的债务为min(X, Y)中的欠款部分（即若X≥Y，则偿还Y；若X<Y，则偿还X中对应欠款比例的部分，但在此案例中，因仅提及欠银行伍仟元，故若X≥5000，则偿还5000；若X<5000，则偿还X中全部可用于偿债的金额，实际可能因遗产中其他债务或费用而有所调整）。
- 实际案例：若欠款人遗产价值为3000元，则家人需用这3000元来偿还部分债务，欠银行的伍仟元中仍有2000元无法清偿（除非有其他资产或收入来源）。
放弃继承的情况：
- 如果家人选择放弃继承欠款人的遗产，那么他们就不需要承担还款责任。银行将只能从欠款人的其他遗产（如果有的话）中追讨债务。
三、特殊情况与建议
共同借款人或担保人：
- 如果家人是借款的共同借款人或担保人，那么他们就有义务偿还欠款人的债务，无论是否继承了遗产。
与银行协商：
- 在家人无力偿还且没有继承足够遗产的情况下，建议与银行进行协商，说明实际情况，看是否能够达成还款协议或获得债务减免。
法律咨询与援助：
- 如果家人对债务处理有疑问或遇到困难，建议寻求专业法律咨询或援助，以了解自己的权利和义务，并获得合适的解决方案。
总结与建议：在欠款人去世且家人无力偿还其欠银行的债务时，家人通常无需直接承担还款责任，但需根据是否继承遗产以及遗产价值来处理债务清偿事宜。如果家人是共同借款人或担保人，则需承担还款责任。建议与银行协商并寻求专业法律咨询以获取更具体的指导和帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律支持，请直接向我咨询。