结论：在父亲遗嘱写明房子由母亲继承但无房产证的情况下，母亲能否以自己的名字起诉邻居，需分情况讨论。

分析：

1. 关于遗嘱继承与房产证的关系：

   • 遗嘱是遗嘱人对其财产在死后如何分配的意愿表示，具有法律效力。若遗嘱真实有效，且房子确实属于父亲遗产范围，那么母亲作为遗嘱指定的继承人，有权继承该房子。
   • 房产证是证明房屋所有权归属的法定凭证。然而，房产证的缺失并不影响遗嘱的效力，也不直接决定房屋的所有权归属。在遗嘱继承的情况下，即使没有房产证，母亲作为继承人仍然有权继承房屋，只是在实际操作中可能会遇到一些困难，如办理过户手续等。

2. 关于起诉邻居的资格：

   • 起诉邻居通常涉及相邻权纠纷，如噪音、采光、通风等影响生活的问题。要起诉邻居，原告需要是房屋的合法所有权人或使用权人。
   • 在没有房产证的情况下，母亲若要证明自己是房屋的合法所有权人，可能需要提供其他证据，如遗嘱、继承公证书、购房合同（如果房子是父母共同购买且父亲去世后未分割）、社区或物业的证明等。
   • 如果母亲能够提供充分证据证明自己是房屋的合法所有权人或使用权人，那么她就有资格以自己的名字起诉邻居。

3. 实际操作建议：

   • 办理继承手续：母亲应尽快办理继承手续，包括遗嘱公证、继承权公证等，以明确自己的房屋所有权。
   • 补办房产证：如果可能，母亲应尝试补办房产证，这将大大简化后续的法律程序和纠纷解决过程。
   • 收集证据：在起诉邻居之前，母亲应收集充分证据证明邻居的行为侵犯了自己的合法权益，如噪音记录、照片、视频等。
   • 咨询专业律师：由于房产纠纷和相邻权纠纷可能涉及复杂的法律问题，母亲在起诉前应咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及诉讼的风险和可能的结果。

可能遇到的法律后果：

• 如果母亲能够证明自己是房屋的合法所有权人或使用权人，并且邻居的行为确实侵犯了她的合法权益，那么法院可能会支持母亲的诉讼请求，判决邻居停止侵权行为并赔偿损失。
• 如果母亲无法提供充分证据证明自己的房屋所有权或使用权，或者邻居的行为并未构成侵权，那么法院可能会驳回母亲的诉讼请求。

进一步思考：

• 在没有房产证的情况下，母亲继承房屋后可能会面临一些实际操作上的困难。因此，建议母亲在继承房屋后尽快办理相关手续，以明确自己的房屋所有权。
• 在处理相邻权纠纷时，双方应尽量通过协商、调解等和平方式解决争议。如果协商、调解无果，再考虑通过法律途径解决。

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