结论：是否需要支付后期费用，取决于您与律师签订的委托合同中的具体约定。以下分情况详细说明：

1. 合同中有明确约定：

   • 如果您与律师签订的委托合同中，明确约定了律师在未完成委托事项（如未成年退款申请未成功）的情况下，仍需收取部分或全部后期费用，那么您需要按照合同约定支付。
   • 这种情况下，合同条款是双方权利义务的依据，您应当遵守合同约定，否则可能面临违约责任。

2. 合同中未明确约定或约定不明：

   • 如果合同中没有明确约定律师在未完成委托事项时是否收取后期费用，或者约定不明确，那么根据《中华人民共和国民法典》中关于委托合同的相关规定，律师在未完成委托事项的情况下，通常无权要求支付后期费用。
   • 此时，您可以与律师协商解决费用问题，如果协商不成，可以通过法律途径解决争议。

3. 律师存在过错或违约行为：

   • 如果律师在办理未成年退款申请过程中存在过错或违约行为（如未按时提交申请、未积极跟进等），导致申请未成功，那么您有权要求律师承担相应的责任，包括可能不需要支付后期费用或要求律师退还已支付的费用。
   • 在这种情况下，您可以收集相关证据，如合同、沟通记录、申请材料等，以证明律师的过错或违约行为，并据此与律师协商或通过法律途径解决争议。

建议：

• 在与律师签订委托合同前，务必仔细阅读合同条款，特别是关于费用支付、委托事项完成标准、违约责任等方面的约定。
• 如果对合同条款有疑问或不明白的地方，及时向律师咨询并要求解释清楚。
• 在委托律师办理事务过程中，保持与律师的沟通联系，及时了解办理进度和情况。
• 如果发生争议或纠纷，首先尝试与律师协商解决；协商不成的，可以考虑通过法律途径解决争议。

如果您在未成年退款申请或律师委托方面还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。