针对您的情况，首先明确结论：您可以通过多种途径来维护自己的权益，包括尝试沟通与调解、保存关键证据、通过法律途径维权等。
一、尝试沟通与调解
主动联系对方：
- 尽管对方现在不承认，但您仍应尝试通过电话、短信、社交媒体等多种方式联系对方或其家属，明确告知他们您已经垫付了医疗费用，并强调共同处理事故的重要性。
- 在沟通过程中，保持冷静和理性，避免情绪化的言辞，以便更有效地解决问题。
请求交警协助：
- 向处理该事故的交警部门反映情况，请求他们协助联系对方并督促其出面解决。
- 交警部门通常具有更专业的调解能力和更权威的地位，他们的介入可能会更有效地推动问题的解决。
申请交警调解：
- 如果对方仍然拒绝出面，您可以正式申请交警部门进行调解。
- 交警部门会根据事故责任认定书和相关法律法规，尝试促成双方达成赔偿协议。
二、保存关键证据
- 医疗费用凭证：务必妥善保管所有与垫付费用相关的凭证，包括医院缴费收据、发票、用药清单等。这些凭证是后续主张权利的关键证据，必须确保它们的完整性和真实性。
三、法律途径维权
保险理赔：
- 如果您购买了相关保险（如交强险、商业第三者责任险），您可以向保险公司提交事故证明、垫付费用凭证等材料，申请理赔。
- 保险公司会根据保险合同的约定和相关法律法规，对您的损失进行赔偿。
提起诉讼：
- 如果对方拒绝履行赔偿责任，且调解无果，您可以向法院提起道路交通事故人身损害赔偿之诉。
- 根据《民法典》的相关规定，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。
- 在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来支持自己的主张，包括事故责任认定书、医疗费用凭证、证人证言等。
强制执行：
- 如果法院判决生效后，对方仍然不履行还款义务，您可以向法院申请强制执行。
- 法院会采取一系列措施来强制对方履行判决，包括查封、扣押、拍卖财产等，以确保您的权益得到有效保护。
四、其他辅助措施
委托律师：
- 如果您对法律程序不熟悉，或者觉得处理起来比较复杂，建议委托专业交通事故律师代理。
- 律师具有专业的法律知识和丰富的实践经验，能够更专业地处理案件，为您争取最大的权益。
申请救助基金：
- 在某些特殊情况下，如抢救费用超出责任限额或对方逃逸等，您可以向道路交通事故社会救助基金管理机构申请垫付部分或全部抢救费用。
- 待责任明确后，您再向相关责任方进行追偿。
总结与建议：面对交通事故中垫付费用而对方不承认的困境，您应通过多渠道尝试沟通与调解，同时严格保存证据，并适时采取法律途径维权。在整个过程中，保持冷静、理性，依法行事，是确保您权益得到有效保护的关键。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。