结论：超过质保期的饮水机发生自燃，是否还能索赔，需根据具体情况判断，主要涉及产品责任、合同责任以及是否存在过错等因素。以下从不同角度进行分析：
一、产品责任角度
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百零二条：“因产品存在缺陷造成他人损害的，生产者应当承担侵权责任。”
- 第一千二百零三条：“因产品存在缺陷造成他人损害的，被侵权人可以向产品的生产者请求赔偿，也可以向产品的销售者请求赔偿。”
分析：
- 即使饮水机超过质保期，如果其自燃是由于产品本身存在缺陷（如设计缺陷、制造缺陷或警示缺陷）导致的，生产者或销售者仍可能需承担侵权责任。
- 质保期是生产者或销售者对产品质量的一种保证期限，但并非免除产品责任的期限。产品责任是基于产品缺陷造成的损害，与质保期无直接关联。
二、合同责任角度
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》合同编的相关规定，合同双方应按照约定履行义务，违反合同约定应承担违约责任。
分析：
- 如果饮水机自燃是由于销售者或生产者未履行合同中的维修、保养等义务导致的，且这些义务在合同中有明确约定，那么销售者或生产者可能需承担违约责任。
- 但若合同中未明确约定超过质保期后的维修、保养义务，或自燃并非由于未履行这些义务导致，则合同责任的角度可能难以支持索赔。
三、过错责任角度
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。”
分析：
- 如果饮水机自燃是由于使用者不当使用（如长时间开启、放置在易燃物附近等）导致的，且生产者或销售者能证明使用者存在过错，那么使用者可能需自行承担部分或全部责任。
- 但若生产者或销售者无法证明使用者存在过错，或自燃并非由于使用者不当使用导致，则过错责任的角度可能不适用。
四、建议与行动
收集证据：
- 保留饮水机自燃的现场照片、视频等证据。
- 收集饮水机的购买凭证、质保卡等相关文件。
- 如有可能，请专业机构对饮水机自燃的原因进行鉴定。
协商与调解：
- 尝试与生产者或销售者进行协商，寻求和解或调解。
- 可以邀请消费者协会或相关行业协会介入调解。
法律途径：
- 如果协商与调解无果，可以考虑通过法律途径解决纠纷。
- 可以向人民法院提起诉讼，要求生产者或销售者承担侵权责任或违约责任。
进一步思考：在处理此类纠纷时，关键在于证明饮水机自燃与产品缺陷、合同违约或使用者过错之间的因果关系。因此，收集充分的证据并寻求专业鉴定至关重要。同时，了解相关法律法规和合同条款也是维护自身权益的基础。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。