涉嫌刑事案件被拘留期间，能否打电话主要取决于拘留的具体阶段、案件性质以及看守所的管理规定。以下是对这一问题的详细分析：
一、刑事拘留初期
在刑事拘留初期，犯罪嫌疑人通常处于公安机关的讯问阶段，此时他们一般不能随意打电话。这是因为公安机关需要集中精力进行案件调查，确保讯问过程的顺利进行，并防止犯罪嫌疑人通过电话与外界串供或干扰案件侦查。
二、被送看守所羁押后
与律师的通信：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十九条，辩护律师可以同在押的犯罪嫌疑人会见和通信。这意味着，在看守所羁押期间，犯罪嫌疑人可以通过律师与外界进行一定程度的沟通。不过，这种通信通常是在律师的协助下进行的，且内容受到法律限制，不得涉及案件机密或干扰案件侦查。
- 实践中，有的看守所会安排特定时间和条件，让犯罪嫌疑人通过内部电话或其他方式与律师沟通委托事宜，但这也需要经过看守所管理人员的批准。
与家属的通信：
- 在刑事拘留期间，犯罪嫌疑人与家属的通信、打电话等权利受到严格限制。这是因为看守所需要确保监管安全，防止犯罪嫌疑人通过电话与外界进行不正当联系。
- 然而，在涉及重大疾病、近亲属病危等特殊紧急情况时，经办案机关批准并经看守所同意，犯罪嫌疑人可能获准打电话给家属。这种情况下，通话内容通常受到严格监控，以确保不涉及案件机密或干扰案件侦查。
三、看守所的具体管理规定
- 除了上述法律规定的限制外，看守所还会根据自身的实际情况制定具体的管理规定。这些规定可能包括通话时间、通话次数、通话方式等方面的限制。
- 因此，即使犯罪嫌疑人获得了打电话的许可，也需要严格遵守看守所的相关规定，否则可能会面临进一步的法律后果。
四、建议与注意事项
了解并遵守规定：
- 对于被拘留的犯罪嫌疑人来说，了解并遵守看守所的管理规定是至关重要的。这不仅可以避免不必要的麻烦和法律后果，还可以确保自己的合法权益得到保障。
积极与律师沟通：
- 在刑事拘留期间，犯罪嫌疑人应积极与律师沟通，了解自己的权利和义务，以及案件的进展情况。律师可以为犯罪嫌疑人提供法律帮助和支持，确保其合法权益得到妥善维护。
家属的理解与支持：
- 对于犯罪嫌疑人的家属来说，理解并支持看守所的管理措施也是非常重要的。家属可以通过合法途径了解犯罪嫌疑人的情况，并在必要时提供法律帮助和支持。
总结来说，涉嫌刑事案件被拘留期间能否打电话并不是一个简单的问题。它受到多种因素的影响，包括拘留的具体阶段、案件性质以及看守所的管理规定等。因此，在面对这种情况时，最好直接向我咨询，以便根据具体情况提供更准确的法律建议。