烧烤店私搭乱建排烟管道的问题，主要涉及到城市管理和环境保护两个方面的监管，具体归谁管需分情况讨论：

1. 从城市管理的角度来看：

   • 私搭乱建排烟管道，如果未经相关部门批准，擅自改变了建筑物的原有结构或外观，这通常属于违法建设行为。
   • 根据《城市市容和环境卫生管理条例》等相关规定，城市管理部门（如城管局）有权对违法建设行为进行查处，包括责令停止建设、限期拆除、罚款等。
   • 因此，如果烧烤店私搭乱建的排烟管道属于违法建设，那么城市管理部门是主要的监管和执法部门。

2. 从环境保护的角度来看：

   • 排烟管道如果排放的油烟、废气等污染物超标，或者未按照环保要求进行安装和使用，这可能构成环境污染行为。
   • 根据《中华人民共和国大气污染防治法》等相关规定，环保部门有权对环境污染行为进行监管和处罚，包括责令改正、罚款、停产整治等。
   • 因此，如果烧烤店私搭乱建的排烟管道存在环境污染问题，那么环保部门也是重要的监管部门。

在实际操作中，可能会遇到以下情况：

• 如果烧烤店私搭乱建的排烟管道既存在违法建设问题，又存在环境污染问题，那么城市管理部门和环保部门可能会联合执法，共同对烧烤店进行查处。
• 另外，如果烧烤店位于居民区或商业区等敏感区域，其私搭乱建的排烟管道还可能引发邻里纠纷或公众投诉。在这种情况下，除了城市管理部门和环保部门外，还可能涉及到社区、街道办等基层组织的协调和处理。

给你的建议：

• 如果你是烧烤店的业主或经营者，建议你在搭建排烟管道前，先咨询当地城市管理部门和环保部门的相关规定和要求，确保排烟管道的搭建和使用符合法律法规的规定。
• 如果你是受到烧烤店私搭乱建排烟管道影响的居民或商户，建议你先向社区或街道办反映情况，寻求协调解决。如果协调无果，你可以向城市管理部门或环保部门投诉举报，要求相关部门依法进行查处。

可能面临的法律后果：

• 如果烧烤店私搭乱建的排烟管道被认定为违法建设或环境污染行为，烧烤店可能会面临罚款、停产整治、拆除等处罚措施。
• 同时，如果烧烤店的行为给周边居民或商户造成了损失或影响，还可能面临民事赔偿等法律责任。

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