小区业主私自砍伐公共树是违法的，这一行为主要由城市绿化行政主管部门负责管理。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律背景与依据
《城市绿化条例》：
- 该条例明确规定，任何单位和个人都不得擅自砍伐、移植城市树木。小区内的公共树木作为城市绿化的一部分，同样受到此条例的保护。
- 违反此规定者，将面临行政处罚，包括责令停止违法行为、补植树木或采取其他补救措施，并可处以罚款。
《中华人民共和国治安管理处罚法》：
- 第四十九条指出，故意损毁公私财物的行为将受到相应的行政处罚，这同样适用于私自砍伐小区树木的情况。
- 处罚措施包括五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款。
《中华人民共和国刑法》（在极端情况下）：
- 若砍伐的树木数量较大，或属于珍贵树木、国家重点保护的其他植物，可能构成盗伐林木罪或滥伐林木罪，面临刑事处罚。
二、管理部门及职责
城市绿化行政主管部门：
- 负责监管城市绿化工作，对擅自砍伐小区内树木的行为有权进行调查和处理。
- 若发现违规砍伐，可责令停止侵害、处罚款，并要求补植树木或采取其他补救措施。
物业管理公司：
- 虽然物业管理公司不直接管理树木的砍伐，但作为小区的管理者，有责任维护小区内的公共设施和绿化环境。
- 发现业主私自砍伐树木时，物业管理公司应及时劝阻和制止，并向城市绿化行政主管部门报告。
街道办事处或乡镇人民政府：
- 对辖区内物业管理活动有监督职责，可对物业违规砍伐行为进行调查和处理，同时也可对业主的私自砍伐行为进行协调和处理。
三、法律后果与责任
行政处罚：
- 私自砍伐小区树木的业主可能面临罚款、拘留等行政处罚。具体处罚措施由城市绿化行政主管部门根据违法情节和损害程度决定。
民事赔偿：
- 如果砍伐行为导致小区环境受损或其他业主权益受到侵害，砍伐者还需承担民事赔偿责任，赔偿因树木砍伐造成的绿化损失及其他相关损失。
刑事责任（在极端情况下）：
- 如砍伐行为构成犯罪，砍伐者还需承担刑事责任，面临有期徒刑、拘役或罚金等处罚。
四、合法砍伐的条件与程序
- 在特定情况下，如树木存在安全隐患、被认定为病虫害严重且无法挽救，或小区进行合法的改造、建设等工程需要砍伐树木时，必须依法办理相关手续。
- 这包括但不限于向林业主管部门申请砍伐许可证，并按照规定的程序进行审批和备案。未经批准擅自砍伐的，仍将承担法律责任。
五、建议与行动
- 业主：应尊重公共财产权，遵守相关法律法规，不得擅自砍伐小区内的公共树木。如需处理树木，应依法向相关部门提出申请并办理审批手续。
- 物业管理公司：应加强对小区内绿化环境的维护和管理，及时发现并制止业主的私自砍伐行为。同时，应积极向业主宣传相关法律法规，提高业主的法律意识。
- 遇到问题：如果您或您身边的人遇到小区业主私自砍伐公共树的问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和帮助。
综上所述，小区业主私自砍伐公共树是违法的行为，不仅损害了公共利益和其他业主的权益，还可能面临严重的法律后果。因此，建议业主在需要处理树木时，应依法向相关部门提出申请并办理审批手续，确保行为的合法性和合规性。