您需要明确的是，您打伤对方的行为和对方醉酒驾驶肇事的行为是两个独立的法律事件，需要分别承担相应的法律责任，赔偿问题也需分开来看：
一、对方醉酒驾驶肇事的赔偿问题
民事赔偿：
- 对方作为醉酒驾驶者，若造成您或他人人身伤害或财产损失，依法应承担民事赔偿责任。
- 赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费，以及因伤致残或死亡而产生的残疾赔偿金、死亡赔偿金等。
- 赔偿方式一般是通过协商、调解或诉讼等途径解决。
刑事责任与行政处罚：
- 对方醉酒驾驶还可能面临刑事责任，如危险驾驶罪，以及行政处罚，如吊销驾驶证、罚款等。
- 这些法律后果与您打伤对方的行为无关，但会影响对方整体的法律责任承担。
二、您打伤对方的赔偿问题
民事赔偿：
- 如果您的行为构成故意伤害，且对方因此遭受了人身损害，您需要承担民事赔偿责任。
- 赔偿项目与上述对方醉酒驾驶肇事的民事赔偿类似，包括医疗费、误工费等因伤害产生的直接经济损失。
- 赔偿金额需根据对方的实际损失和您的过错程度来确定。
刑事责任：
- 如果您的打伤行为情节严重，如造成对方轻伤以上后果，您还可能面临刑事责任，如故意伤害罪。
- 刑事责任的承担将取决于您的行为性质、后果以及您的主观故意等因素。
自卫与防卫过当的考量：
- 如果您是在对方醉酒驾驶肇事过程中，为了保护自己或他人的人身安全而打伤对方，且行为符合正当防卫的构成要件，那么您可能不需要承担刑事责任或民事赔偿责任。
- 但如果您的防卫行为明显超过了必要限度，造成了不应有的损害，那么您可能需要承担防卫过当的相应责任。
行动建议：
- 保留证据：无论是对方醉酒驾驶肇事的证据，还是您打伤对方的证据，都应妥善保留，以备后续处理之需。
- 及时报警：在发生此类事件后，应及时向公安机关报案，以便警方进行调查和处理。
- 寻求法律帮助：由于此类事件涉及多个法律领域和复杂的法律关系，建议您寻求专业律师的法律帮助，以便更好地维护自己的合法权益。
最后需要强调的是，法律问题的处理需要综合考虑多种因素，包括事实情况、法律规定以及司法实践等。因此，在处理此类事件时，请务必保持冷静和理性，遵循法律程序，并在必要时寻求专业律师的法律支持。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。