员工被无故辞退且公司不履行赔偿时，您可以按照以下清晰、详细的步骤来维护自己的合法权益：
一、明确法律依据与赔偿标准
首先，您需要了解相关的法律依据。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位不得随意解除劳动合同。如果用人单位违法解除或终止劳动合同，需要承担相应的法律责任。赔偿标准通常包括：
经济补偿金：按照您在本单位的工作年限来计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
经济赔偿金（双倍补偿）：如果用人单位违反法律规定解除合同，应按照经济补偿金标准的两倍向您支付赔偿金。
代通知金：如果用人单位未提前30日书面通知您解除合同，需要额外支付一个月工资作为代通知金（注意，代通知金与经济补偿金不重复支付）。
其他损失：如未休年假的补偿、加班费等，您也可以一并主张。
二、收集证据
在维权过程中，收集证据是至关重要的。您需要收集以下证据来支持您的诉求：
劳动关系证明：如劳动合同、工资条、银行流水、工作证、考勤记录等，这些证据可以证明您与用人单位之间存在劳动关系。
辞退证明：如解除劳动合同通知书、邮件、短信等书面材料，这些证据可以证明您被辞退的事实。
沟通记录：与上级或HR的谈话录音、聊天记录等，这些证据可以反映您与用人单位之间的沟通情况。
公司违规证据：如拖欠工资、未缴纳社保的记录等，这些证据可以证明用人单位存在违法行为。
三、与用人单位协商
在收集完证据后，您可以主动与用人单位的人事部门或管理层进行沟通，要求他们说明辞退的原因并提供合法依据。如果协商无果，您可以提出书面的赔偿请求，明确列出您应得的赔偿项目和金额。
四、申请劳动调解（可选）
如果您希望以更和平的方式解决争议，可以向当地的劳动争议调解委员会提交书面调解申请。在调解过程中，您可以充分陈述自己的观点和理由，并提供相关证据。调解委员会将听取双方的意见，并寻求一个双方都能接受的解决方案。
五、申请劳动仲裁
如果协商和调解都无法解决问题，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请。在申请仲裁时，您需要提交仲裁申请书及相关证据材料。仲裁委员会将根据双方的证据和法律法规作出裁决。请注意，劳动仲裁的时效要求是在离职后一年内提出申请。
六、提起诉讼
如果您对仲裁结果不满意，可以在收到仲裁裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提交起诉状及相关证据材料，并遵守法律程序和法院规定。
七、向劳动行政部门投诉
除了上述途径外，您还可以向当地的人力资源和社会保障局下设的劳动监察大队投诉。在投诉时，您需要提交相关证据材料，说明情况和诉求。劳动监察部门将依法进行调查处理，并可以责令用人单位改正违法行为及进行处罚。
综合建议：
在整个维权过程中，请务必妥善保管所有证据，并保持冷静理性，避免采取过激行为影响维权效果。如果您对法律程序不熟悉，建议咨询专业律师或法律援助机构以获取专业帮助。通过合法途径解决争议，是维护自己合法权益的最佳方式。