结论：物业在没有报警的前提下，一般不可以随意通过监控一户一户地敲门询问业主丢失物品的情况，但具体还需根据实际情况和物业公司的管理规定来判断。

分析：

1. 物业的职责与权限：

   • 物业公司的基本职责是维护小区的公共秩序、安全以及提供物业服务，如清洁、绿化、维修等。
   • 在业主丢失物品的情况下，物业有义务协助业主进行调查，但这种协助应当是在合法、合规且尊重业主隐私的前提下进行。

2. 隐私权保护：

   • 业主在小区内享有隐私权，包括其住宅的私密性。物业公司在未经业主同意或未获得合法授权的情况下，不得随意进入业主住宅或通过监控等手段侵犯业主隐私。
   • 如果物业要通过监控一户一户地敲门询问，这实际上可能涉及到对业主隐私的侵犯，尤其是当这种询问没有明确的法律依据或业主同意时。

3. 报警与调查程序：

   • 在业主丢失物品的情况下，通常建议业主首先报警，由警方介入调查。警方有权根据法律程序进行调查，包括查看监控录像、询问相关人员等。
   • 物业公司在警方介入后，应当积极配合警方的调查工作，提供必要的协助和信息。

4. 物业公司的管理规定：

   • 不同的物业公司可能有不同的管理规定和操作流程。有些物业公司可能在内部规定中明确了在业主丢失物品时的处理流程和权限。
   • 但即使物业公司有内部规定，这些规定也必须符合法律法规的要求，不得侵犯业主的合法权益。

建议：

• 如果业主在小区内丢失物品，建议首先报警，由警方介入调查。
• 物业公司在接到业主的报失后，应当积极协助业主和警方进行调查，但不得侵犯业主的隐私权。
• 如果物业公司的行为涉嫌侵犯业主的隐私权或其他合法权益，业主可以向相关部门投诉或寻求法律援助。

特殊情况：

• 如果物业公司在紧急情况下（如业主生命安全受到威胁、公共安全受到严重威胁等）需要采取必要措施，可能可以在一定程度上突破常规程序。但这种情况非常特殊，且必须符合法律法规的要求。

总之，物业在没有报警的前提下，一般不可以随意通过监控一户一户地敲门询问业主丢失物品的情况。如果业主遇到此类问题，建议直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。