民事案件再审申请被驳回后，当事人仍然享有申诉的权利，可以通过多种途径继续寻求法律救济。以下是对此问题的详细分析：
一、向人民检察院申请检察建议或抗诉
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人在认为再审判决、裁定确有错误时，可向人民检察院申请检察建议或抗诉。具体情形包括：人民法院驳回再审申请；人民法院逾期未对再审申请作出裁定；再审判决、裁定有明显错误等。
申请流程：
- 准备材料：包括抗诉申请书（或申诉书）、人民法院生效的裁判文书、主体身份材料及证明申诉主张的证据材料等。
- 提出申请：向作出生效裁判的人民法院的同级人民检察院提交申请。
- 检察院审查：人民检察院在三个月内对申请进行审查，并决定是否提出检察建议或抗诉。
- 复查申请：如认为人民检察院不支持监督申请的决定存在明显错误，可在决定作出之日起一年内向上一级人民检察院申请复查一次。
二、向法院申诉
申诉对象与要求：
- 当事人可向作出生效判决的法院及其上级法院提出申诉。
- 申诉需提出具体的理由和证据，以证明原判决或裁定存在错误。
处理流程：
- 如申诉被接受，法院院长可将案件提交审判委员会讨论是否启动审判监督程序，该程序用于纠正已发生法律效力的错误判决或裁定。
三、收集新证据重新起诉（在特定情形下）
适用情形：
- 若当事人能收集到足以推翻原判决或裁定的新证据，可考虑以新的事实和理由重新起诉。但需注意，这通常要求新证据能够构成新的法律事实，且该事实未在原诉讼中被充分审查或认定。
注意事项：
- 在重新起诉时，需确保诉讼标的、诉讼请求或诉讼当事人与原案不同，以避免被认定为重复起诉。同时，应仔细评估新证据的证明力和关联性，确保其能够支持新的诉讼请求。
四、其他注意事项
申诉时限：
- 虽然法律对申诉的具体时限没有明确规定，但当事人应尽快行使申诉权，以免错过最佳申诉时机。特别是向人民检察院申请检察建议或抗诉时，需注意监督申请应在判决、裁定发生法律效力之日起两年内提出。
证据与理由的充分性：
- 无论选择哪种申诉途径，当事人均需提供充分的理由和证据来支持其申诉请求。这包括证明原判决或裁定存在错误的具体事实、法律依据以及新证据等。
法律后果的考量：
- 申诉并不必然导致原判决或裁定的撤销或变更。因此，当事人在申诉前应充分评估申诉的可能结果和法律后果，以便做出明智的决策。
总结与建议：
民事案件再审申请被驳回后，当事人仍然可以通过向人民检察院申请检察建议或抗诉、向法院申诉以及收集新证据重新起诉（在特定情形下）等途径继续寻求法律救济。在选择申诉途径时，当事人应仔细了解并遵循各途径的具体要求和程序，同时确保申诉理由充分且原判决或裁定确实存在错误。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。