若去世一方留有合法有效的遗嘱：
- 遗嘱内容明确指定未成年孩子为存款继承人：在这种情况下，根据《中华人民共和国民法典》继承编的规定，遗嘱继承优先于法定继承。去世一方名下的存款将按照遗嘱的指定，由未成年孩子继承。不过，由于孩子是未成年人，缺乏民事行为能力，需要由其法定代理人（通常是父母中健在的一方或其他依法具有监护资格的人）代为管理这笔遗产，以保障孩子的合法权益。法定代理人在管理遗产时，应当遵循最有利于被监护人的原则，不得损害孩子的利益。
- 遗嘱存在瑕疵或不符合法律规定：如果遗嘱存在形式要件缺失（如自书遗嘱没有签名、日期，代书遗嘱缺少见证人等）、内容违法（如剥夺了缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人的继承权）或者遗嘱人立遗嘱时不是完全民事行为能力人等情况，该遗嘱可能被认定为无效。此时，存款将按照法定继承的方式进行处理。
若去世一方未留有遗嘱：
- 法定继承顺序及份额：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条规定，遗产按照下列顺序继承：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。在父母离异的情况下，未成年孩子作为子女，属于第一顺序继承人。如果去世一方的父母（即孩子的祖父母）还在世，且没有其他特殊情况（如存在丧失继承权的情形），那么孩子将与祖父母共同继承去世一方的存款，一般情况下各继承人的继承份额相等。例如，如果去世一方只有孩子和父母两个第一顺序继承人，那么孩子和祖父母每人继承三分之一的存款。
- 未成年孩子的继承权保障：同样，由于孩子是未成年人，其继承的存款需要由法定代理人代为管理。法定代理人有义务妥善保管孩子的遗产，合理使用遗产为孩子谋取利益，如用于孩子的生活、教育、医疗等方面。如果法定代理人侵害了孩子的继承权，其他继承人或者相关利害关系人可以向法院提起诉讼，要求法定代理人承担相应的法律责任。
特殊情况处理：
- 存款存在争议：如果其他继承人对存款的归属或继承份额存在争议，可以通过协商解决；协商不成的，可以向人民法院提起诉讼，由法院根据法律规定和实际情况进行判决。在诉讼过程中，需要提供相关的证据，如亲属关系证明、存款凭证等，以证明自己的继承权。
- 存款的提取：在继承手续办理完毕后，如果需要提取去世一方名下的存款，继承人需要向银行提供相关的证明文件，如死亡证明、继承权公证书或法院判决书等。银行在审核确认继承人的身份和继承权后，会按照规定办理存款提取手续。
在处理这类问题时，如果情况比较复杂或者涉及金额较大，建议及时咨询专业律师，以确保继承过程的合法合规和未成年孩子的权益得到充分保障。