当您发现自家的私人树木被砍伐时，可以按照以下详细且有条理的步骤来处理：
一、立即报警并保护现场
及时报警：第一时间拨打当地森林公安或派出所的报警电话（如110），详细、准确地说明情况，包括树木被砍伐的具体位置、时间以及您所了解到的任何相关信息。
保护现场：在警方到达之前，请尽量保持现场原状，不要随意移动或破坏任何可能作为证据的物品。您可以拍照或录像记录现场情况，特别是被砍树木的位置、数量、大小，以及周围环境等，这些都将有助于后续的调查和法律程序。
二、配合调查与收集证据
协助警方调查：向警方提供您所掌握的所有信息，包括树木的所有权证明（如林权证、房产证上的相关标注等）、被砍伐的具体时间、地点，以及您怀疑可能涉及的嫌疑人信息等。
收集额外证据：除了现场照片和视频外，您还可以尝试寻找目击证人，获取他们的联系方式和证言。如果可能的话，还可以收集其他相关证据，如砍伐工具、车辆痕迹等。
三、评估损失与确定责任
评估经济损失：根据树木的种类、年龄、市场价值等因素，初步评估因砍伐造成的经济损失。如果需要更精确的评估，可以请专业的林业机构或鉴定机构进行评估，并出具正式的评估报告。
确定法律责任：
四、寻求法律途径解决
刑事报案：如果砍伐行为涉嫌犯罪，您应积极配合警方的调查工作，提供必要的协助和证据，推动案件进入刑事诉讼程序。
民事诉讼：无论是否涉及刑事犯罪，您都可以向法院提起民事诉讼，要求侵权人赔偿您的经济损失。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明自己的主张，如现场照片、视频、评估报告、证人证言等。
调解协商：在某些情况下，双方也可以通过调解或协商的方式解决纠纷。这有助于节省时间和成本，但前提是双方能够达成一致意见，并且调解或协商的结果具有法律约束力。
五、加强防范与法律意识
加强防范措施：为了避免类似事件再次发生，建议您加强对自家树木的看护和管理，设置明显的标识或围栏等，以提醒他人注意并防止误砍。
提高法律意识：了解相关法律法规和政策规定，明确自己的权利和义务。在遇到类似问题时，能够及时采取正确的措施维护自己的合法权益，避免因为不了解法律而遭受不必要的损失。
希望以上步骤能够帮助您妥善处理私人树木被砍伐的问题。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，建议及时咨询专业律师或相关机构以获取更具体的帮助和指导。