过失引起火灾，若不构成犯罪，将由公安机关依据《中华人民共和国消防法》及《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定进行处罚。具体处罚措施和执行部门如下：
一、处罚措施
行政拘留与罚款：
- 根据《中华人民共和国消防法》第六十四条第二项的规定，过失引起火灾，尚不构成犯罪的，将处以十日以上十五日以下拘留，并可并处五百元以下罚款。
- 若情节较轻，如火灾被及时扑灭，损失较小，无人员伤亡，且行为人已采取一定预防措施但因不可预见原因引发火灾，则可能处以警告或者五百元以下罚款。
其他行政处罚：
- 在特定情况下，如过失引起火灾后，当事人有阻碍消防救援等相关执法行为，如拒不执行人民政府在紧急状态下的决定、命令，或阻碍国家机关工作人员依法执行职务等，将依据《中华人民共和国治安管理处罚法》第五十条的规定进行处罚，可能面临警告、罚款甚至拘留的处罚。
二、执行部门
- 公安机关：是处理过失引起火灾案件的主要执法部门，负责调查火灾原因、认定过失程度，并依据相关法律法规作出处罚决定。
- 消防救援机构：在火灾扑救和调查过程中，消防救援机构会提供专业的技术支持和意见，协助公安机关确定火灾原因和过失程度。
三、处罚的具体执行与判断
- 在具体执行过程中，公安机关会综合考虑火灾的具体情况、过失的程度以及造成的后果等因素，来判定应给予何种具体的处罚。这包括火灾的规模、是否造成人员伤亡或财产损失、当事人的过错程度以及是否有悔罪表现等。
- 如果过失引起火灾的行为已经构成了犯罪，如造成严重后果，构成失火罪，那么将依照刑法的相关规定追究刑事责任，而不再适用治安管理处罚。此时，案件将由公安机关立案侦查，并移送检察机关审查起诉，最终由法院进行审判。
四、预防火灾的责任与义务
- 预防火灾是每个人的责任和义务。我们应该时刻保持警惕，加强防火意识，遵守消防安全规定，共同维护公共安全和社会稳定。
- 通过日常的安全教育和培训，提高公众的消防安全意识，减少火灾事故的发生，是构建和谐社会的重要一环。
举例说明：
- 假设某居民在家中做饭时因疏忽忘记关闭煤气灶，导致小火苗引燃了旁边的物品，但发现后立即用水扑灭，未造成其他损失。这种情况下，公安机关可能会给予警告或处以较低数额（如二百元）的罚款。
- 如果某工厂因员工操作不当引发火灾，导致一定财产损失和人员伤害，且工厂在火灾发生后未及时报警或未积极采取措施扑救火灾，那么公安机关可能会处以十日以上十五日以下拘留，并可根据具体情况决定是否并处五百元以下罚款。
总结与建议：
- 过失引起火灾的法律责任是一个综合考量多方面因素的过程，既涉及《消防法》的严格规定，也可能与《治安管理处罚法》的其他条款相关联。
- 在处理此类案件时，应确保法律的准确适用，同时也应加强公众对消防安全的认识和重视。
- 如果您或您身边的人遇到了过失引起火灾的情况，建议及时报警并配合公安机关的调查工作，同时积极采取措施扑救火灾和减少损失。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。