结论：摊位使用权本身一般不能直接继承，但若摊位涉及经营权且符合法定条件，或摊位租赁合同中有特殊约定，家属可能通过特定方式继续使用摊位；若摊位涉及财产性权益（如押金、装修残值等），则可依法继承。

以下是具体分析：

1. 摊位使用权的继承问题
   根据《民法典》第1122条，遗产是自然人死亡时遗留的个人合法财产，而“摊位使用权”本质是租赁合同中的权利义务关系，不属于“物权”或“财产所有权”，因此不能直接作为遗产继承。但若家属能证明摊位经营权与死者生前的个体工商户营业执照、经营资质等绑定，且符合当地市场管理规定（如允许变更经营者），可能通过变更经营主体继续使用摊位，但这属于合同权利义务的概括转移，需经出租方同意。

2. 摊位租赁合同中的特殊约定
   若摊位租赁合同中明确约定“承租人死亡后，其家属可继承或继续履行合同”，或约定“合同期限与承租人生命绑定”，则家属可能依据合同主张权利。但此类条款需符合《民法典》第497条（格式条款无效情形）及第143条（民事法律行为有效要件），否则可能被认定无效。

3. 摊位涉及的财产性权益继承
   若摊位使用过程中产生了可继承的财产（如租赁押金、装修残值、设备等），这些属于死者遗产，家属可依法继承。例如，若死者支付了摊位押金，家属可凭押金收据向出租方主张返还；若摊位内有死者购置的货架、冰柜等设备，这些属于遗产范围，由继承人按法定顺序分配。

建议行动步骤：

• 第一步：核查摊位租赁合同，确认是否有关于承租人死亡后权利义务的约定；
  
• 第二步：联系市场管理方或出租方，了解其对摊位经营者变更的政策（如是否允许家属接手、需提交哪些材料）；
  
• 第三步：整理摊位涉及的财产清单（如押金、设备、存货等），与出租方协商处理或通过法律途径主张继承权。
  

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