关于公司解除劳动关系时的赔偿问题，这确实是一个涉及劳动者切身利益的重要话题。下面，我将根据不同情况，为您详细梳理公司解除劳动关系时所需承担的赔偿责任。

一、公司无需支付赔偿的情形

首先，如果劳动者存在以下过错，公司有权依法解除劳动合同，并且无需承担经济补偿责任：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件；
2. 严重违反公司的规章制度；
3. 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害；
4. 同时与其他公司建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经公司提出后拒不改正；
5. 以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同；
6. 被依法追究刑事责任。

二、公司需支付经济补偿的情形及标准

在以下情形中，公司解除劳动合同应当向劳动者支付经济补偿：

1. 双方协商一致解除劳动合同；
2. 劳动者因病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作；
3. 劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作；
4. 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经公司与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议；
5. 公司因破产重整、生产经营发生严重困难、转产、重大技术革新或者经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员；
6. 其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行而裁减人员；
7. 劳动合同期满，除公司维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外；
8. 公司被依法宣告破产、被吊销营业执照、责令关闭、撤销或者公司决定提前解散。

经济补偿的计算标准：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。如果劳动者月工资高于公司所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。这里的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

三、公司违法解除需支付赔偿金的情形

如果公司违反《劳动合同法》的规定解除或者终止劳动合同，例如无故解雇员工，或者在员工处于孕期、产期、哺乳期等法律规定的不得解除劳动合同的期间解除劳动关系，公司应当依照上述经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

额外注意事项：

• 如果公司没有提前一个月通知员工就解雇，那么除了支付经济补偿外，还需要额外支付一个月工资作为代通知金。

综上所述，公司在解除劳动关系时，必须根据具体情形来判断是否需要支付经济补偿或赔偿金，并且必须严格按照法律规定来执行。这既是为了维护劳动者的合法权益，也是为了确保公司的合法运营和稳定发展。希望这些信息能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律建议，请随时咨询。