可以起诉。店家私自给未成年人打耳洞的行为，可能涉及对未成年人权益的侵害，家长或监护人有权依法提起诉讼。以下从不同角度对此问题进行分析：
一、法律背景与依据
未成年人保护法：
- 根据《中华人民共和国未成年人保护法》的相关规定，未成年人的身心健康受法律保护，任何组织或者个人不得实施侵害未成年人身心健康的行为。店家私自给未成年人打耳洞，若未征得其监护人同意，且该行为可能对未成年人的身体健康造成损害，则构成对未成年人权益的侵害。
侵权责任法（现相关条款已融入《中华人民共和国民法典》侵权责任编）：
- 店家作为服务提供者，有义务确保其提供的服务符合安全标准，且不会对消费者造成损害。若店家在提供打耳洞服务时，未尽到合理的安全保障义务，导致未成年人受到损害，则应承担相应的侵权责任。
二、可能涉及的法律责任
民事责任：
- 若店家的行为导致未成年人身体受到损害，如感染、过敏等，家长或监护人有权要求店家承担医疗费用、护理费用、交通费用等合理费用，以及因误工减少的收入等经济损失。
- 若未成年人的损害构成伤残，家长或监护人还有权要求店家支付残疾赔偿金、精神损害抚慰金等。
行政责任：
- 若店家的行为违反了相关行政法规，如未取得相应的医疗美容资质而擅自提供打耳洞服务，相关部门有权对其进行行政处罚，如罚款、吊销营业执照等。
三、起诉流程与建议
收集证据：
- 家长或监护人应收集相关证据，如医疗记录、照片、视频、证人证言等，以证明店家的行为与未成年人受到的损害之间存在因果关系。
咨询律师：
- 在起诉前，建议家长或监护人咨询专业律师，了解具体的法律程序和诉讼策略，以便更好地维护未成年人的合法权益。
提起诉讼：
- 家长或监护人可以向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求店家承担相应的法律责任。在诉讼过程中，应积极配合法院的调查和审理工作，提供必要的证据和材料。
四、特殊情况考虑
- 若店家在提供打耳洞服务时，已明确告知未成年人及其监护人该行为可能存在的风险，并取得了监护人的明确同意，且店家在操作过程中尽到了合理的安全保障义务，则可能不构成侵权。但即便如此，若未成年人因个人体质原因（如过敏体质）而受到损害，店家仍可能需承担一定的责任，具体需根据实际情况判断。
总结与建议：店家私自给未成年人打耳洞的行为，若未征得监护人同意或未尽到安全保障义务，可能构成对未成年人权益的侵害。家长或监护人有权依法提起诉讼，要求店家承担相应的法律责任。在起诉前，建议收集相关证据并咨询专业律师，以便更好地维护未成年人的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。