结论：私生子和婚生子在法律地位上是平等的，他们是否会受父亲案底的影响，主要取决于具体情境和法律规定。一般来说，在涉及政审等特定情况下，父亲的案底可能会对子女产生一定影响，但这种影响并非绝对，且会因具体情况而异。

分析：

1. 法律地位平等：

   • 根据我国法律，私生子和婚生子在法律上享有同等的权利和义务。这意味着，在继承、抚养、教育等方面，他们受到的法律保护是相同的。
   • 父亲的案底，作为个人历史的一部分，并不直接决定子女的法律地位或权利。

2. 政审等特定情境的影响：

   • 在某些特定情况下，如子女报考公务员、参军、进入国家安全部门等，需要进行政审。政审过程中，会考察申请人的家庭背景，包括直系亲属的犯罪记录。
   • 如果父亲有案底，这可能会成为政审中的一个不利因素，影响子女的录用或晋升。但需要注意的是，政审的标准和程序因地区和单位而异，且并非所有岗位都要求严格的政审。

3. 其他可能的影响：

   • 除了政审外，父亲的案底还可能对子女的社会声誉、心理发展等产生一定影响。但这些影响更多是社会层面的，而非法律层面的。
   • 在某些情况下，如果父亲的案底与子女的成长环境或教育有关（如父亲因犯罪被监禁，导致子女缺乏家庭关爱和教育），这可能会间接影响子女的未来发展。但这种影响是复杂的，且难以量化。

4. 法律建议：

   • 作为子女，无论私生子还是婚生子，都应了解自己的法律权利和义务，并在必要时寻求法律帮助。
   • 如果担心父亲的案底可能对自己产生不利影响，可以提前了解相关岗位或活动的政审要求，并做好相应的准备。
   • 在面对社会偏见或歧视时，应保持自信和坚强，积极寻求支持和帮助，维护自己的合法权益。

总结：私生子和婚生子在法律地位上是平等的，他们是否会受父亲案底的影响取决于具体情境和法律规定。在涉及政审等特定情况下，父亲的案底可能会对子女产生一定影响，但这种影响并非绝对。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。