在父亲已故的情况下，要鉴定私生子与父亲的亲子关系，可以通过以下两种主要途径进行，同时私生子在继承财产方面与婚生子女享有同等权利：
一、亲子关系鉴定方法
直接鉴定：
- 利用父亲留存的生物样本：如果父亲生前留有带毛囊的毛发、口腔拭子、血液样本或精液样本等，这些样本中蕴含的DNA信息可用于亲子鉴定。需将这些样本与孩子的相应样本（如口腔拭子、带毛囊毛发）一同送至具备资质的司法鉴定机构进行检测。保存得当的样本能够确保DNA信息的准确性，从而得出可靠的鉴定结果。
间接亲缘鉴定：
- 通过父亲的近亲属进行鉴定：若无父亲生前的生物样本，可从其父母（即孩子的祖父母）或兄弟姐妹处采集样本。利用线粒体DNA检测（适用于母系亲缘关系）或Y染色体DNA检测（适用于男性直系亲属）来进行亲缘推断。此种方法虽非传统意义上的亲子鉴定，但能有效证明孩子与父亲家族间的遗传联系。
二、私生子继承财产的相关法律规定及操作建议
亲子关系的确定是前提：
- 私生子欲继承财产，首先需通过合法途径（如上述亲子鉴定）确定其与父亲的亲子关系。这是继承财产的基础和前提。
法定继承与遗嘱继承：
- 法定继承：若父亲未留遗嘱，私生子作为第一顺序继承人，与婚生子女、配偶、父母共同继承遗产。同一顺序继承人继承遗产的份额一般均等，但特殊情况下（如生活困难、缺乏劳动能力或尽到主要扶养义务等）可有所调整。
- 遗嘱继承：若父亲留有合法有效遗嘱，且遗嘱中明确给予私生子一定财产份额，则私生子可按遗嘱内容继承。遗嘱继承优先于法定继承，但若遗嘱未给缺乏劳动能力且无生活来源的私生子保留必要份额，则在遗产处理时应予补正。
实际操作建议：
- 选择专业鉴定机构：在进行亲子鉴定时，应联系专业且有资质的司法鉴定机构，确保鉴定结果的准确性和合法性。
- 咨询专业律师：在处理财产继承问题时，由于涉及法律程序和证据收集等复杂环节，建议向我咨询以了解具体法律规定和操作流程，确保各方权益得到妥善保护。
- 尊重各方权益：在处理此类问题时，应尊重所有相关方的情感和权益，寻求和平、公正的解决方案，避免不必要的纠纷和冲突。
总结来说，在父亲已故的情况下，私生子可以通过直接或间接的亲子鉴定方式来确定与父亲的亲子关系，并据此主张继承权。在处理财产继承问题时，应遵循法定继承或遗嘱继承的原则，并咨询专业律师以确保各方权益得到妥善保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。