结论：在特定情况下，法院确实可以拍卖您母亲留给您的遗产房子来偿还您欠银行的债务，但这并非绝对，具体取决于房子的产权状况、债务性质以及是否涉及其他法律权益等因素。

详细分析：

1. 产权状况：

   • 如果房子已经完全过户到您名下，且没有其他共有人或抵押权人，那么您作为房子的唯一产权人，对房子享有完整的处分权。但如果您因欠银行债务而被起诉，且法院判决您需要偿还债务，而您又未能履行判决，那么银行作为债权人可以申请法院强制执行，包括拍卖您的房产来偿还债务。
   • 如果房子尚未过户到您名下，或者存在其他共有人（如您的其他兄弟姐妹），那么情况就会复杂一些。在这种情况下，房子的产权可能并不完全属于您，因此法院在拍卖前需要考虑到其他共有人的权益。

2. 债务性质：

   • 如果您欠银行的债务是个人债务，且没有以房子作为抵押物，那么银行在追讨债务时，虽然理论上可以申请法院拍卖您的其他财产（包括房产），但实际上这通常需要经过一系列法律程序，并且法院会综合考虑您的还款能力、债务金额以及房产的价值等因素来决定是否拍卖。
   • 如果您欠银行的债务是以房子作为抵押物的贷款，那么银行在您未能按时还款的情况下，有权根据抵押合同的约定申请法院拍卖房子来偿还贷款。

3. 其他法律权益：

   • 如果房子是您母亲留给您的唯一住房，且您没有其他居住场所，那么法院在拍卖前可能会考虑到您的居住权益，并尝试寻找其他解决方案（如协商还款、延期执行等）。
   • 如果房子涉及其他法律纠纷（如继承纠纷、家庭财产分割纠纷等），那么法院在拍卖前需要解决这些纠纷，以确保拍卖的合法性和公正性。

法律建议：

• 如果您面临欠银行债务且担心房子被拍卖的情况，建议您尽快与银行协商还款计划或寻求其他解决方案（如债务重组、延期还款等）。
• 如果银行已经起诉您并申请法院强制执行，那么您应该积极配合法院的工作，并尽快履行判决或提出异议（如果认为判决有误）。
• 在任何情况下，都建议您咨询专业律师（即我，吴涛律师）的意见，以便更好地了解您的法律权益和义务，并制定合适的应对策略。

可能后果：

• 如果法院最终决定拍卖您的房子来偿还债务，那么您将失去房子的所有权，并可能面临无家可归的风险（如果房子是您唯一住房）。
• 拍卖所得款项将首先用于偿还银行的债务和相关的执行费用，如果有剩余款项，将归还给您；如果不足以偿还债务，您可能还需要继续承担剩余债务的还款责任。