在医疗机构进行婚检时，关于签字的流程，通常是由主检医师在完成婚前医学检查后，审签《婚前医学检查证明》并加盖婚检单位专用章，这份证明才正式生效。

具体来说，婚检流程一般包括以下几个步骤：

1. 婚检登记：准备结婚的男女双方携带有效身份证等必要材料，到指定的婚检单位进行登记。

2. 卫生指导及婚检：在婚检单位，双方会接受关于性卫生知识、生育知识和遗传病知识的教育，并进行全面的医学检查，以评估是否存在影响结婚和生育的疾病。

3. 出具医学意见：婚检单位根据检查结果，为申请人出具《婚前医学检查证明》。在这份证明的“医学意见”栏内，会注明诸如“未发现医学上不宜结婚的情形”或“建议不宜结婚”、“建议不宜生育”、“建议暂缓结婚”、“建议采取医学措施、尊重受检者意愿”等意见。

4. 确认婚检结果：申请人需要对免费检查项目及检查结论进行签字确认，表示对检查结果的认可。

5. 主检医师审签：在确认婚检结果无误后，主检医师会审签《婚前医学检查证明》，并加盖婚检单位专用章，使这份证明正式生效。这份证明的有效期通常为三个月。

因此，在医疗机构婚检时，签字的主要责任在于主检医师，他们负责审签《婚前医学检查证明》并确保其准确性和合法性。同时，申请人也需要对检查结果进行签字确认，以表示对婚检流程的参与和认可。