结论：已获工伤一级伤残赔偿金的职工，若后续因工伤直接导致死亡，其近亲属仍有权获得相应的工亡赔偿金，但通常不直接称为“死亡赔偿金”，而是包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金以及一次性工亡补助金（若符合特定条件）。若非工伤原因导致死亡，则不享受工亡相关赔偿。
一、一级工伤职工死亡后的赔偿情况
工亡认定条件：
- 若一级工伤职工在停工留薪期满后死亡，且死亡与工伤存在直接因果关系（如工伤并发症直接导致死亡），或经劳动能力鉴定委员会确认存在“直接导致死亡的工伤并发症”，则可认定为工亡。
- 法律依据：根据《工伤保险条例》第三十九条，职工因工死亡，其近亲属有权从工伤保险基金领取丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金（若符合条件）。
工亡赔偿标准：
- 丧葬补助金：为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。例如，若统筹地区上年度职工月平均工资为5000元，则丧葬补助金为30000元。
- 供养亲属抚恤金：按照职工本人工资的一定比例发放给由因工死亡职工生前提供主要生活来源且无劳动能力的亲属。具体比例为：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或孤儿在上述基础上增加10%。核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。
- 一次性工亡补助金：标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。以某年为例，若上一年度全国城镇居民人均可支配收入为43834元，则一次性工亡补助金为876680元。但需注意，如果一级工伤职工是在停工留薪期满后死亡的，且死亡并非直接由工伤导致（如自然死亡），则不享受一次性工亡补助金。
二、特殊情形的处理原则
停工留薪期内死亡：
- 若一级工伤职工在停工留薪期内因工伤死亡，无论伤残等级如何，均直接适用工亡赔偿标准，即近亲属可全额享受丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。
非工伤原因死亡：
- 若一级工伤职工因非工伤疾病或意外死亡，则不享受工亡相关赔偿。此时，近亲属可能仅能享受基本养老保险个人账户余额退还和丧葬费、抚恤金等待遇（具体依据当地养老保险政策）。
三、法律建议与注意事项
及时申请工亡认定：
- 若一级工伤职工死亡，且怀疑死亡与工伤存在因果关系，建议家属尽快向当地劳动能力鉴定委员会申请工亡认定，以便及时获得相应赔偿。
保留相关证据：
- 家属应保留与工伤、死亡相关的所有证据，如医疗记录、工伤认定书、死亡证明等，以便在申请赔偿时提供有力支持。
咨询专业律师：
- 由于工亡赔偿涉及多个法律条款和复杂程序，建议家属在申请赔偿前咨询专业律师（即向我咨询），以确保自身权益得到充分保障。
总结：已获工伤一级伤残赔偿金的职工，若后续因工伤直接导致死亡，其近亲属仍有权获得相应的工亡赔偿金。但具体赔偿项目和标准需根据死亡时间、死亡原因以及当地政策等因素综合确定。如有任何疑问或需要进一步帮助，请随时向我咨询。