结论：孩子14岁时被行政拘留过，一般情况下不能当兵，但具体还需根据行政拘留的原因、情节以及后续表现等因素综合判断。
分析说明：
行政拘留的性质与影响：
- 行政拘留是公安机关对违反行政管理秩序但尚未构成犯罪的公民所采取的一种短期限制人身自由的处罚措施。它不同于刑事拘留，后者是针对涉嫌犯罪的嫌疑人所采取的强制措施。
- 然而，行政拘留仍然会在个人的违法犯罪记录中留下痕迹，这可能对个人的社会评价、职业发展等产生一定影响。
当兵的资格要求：
- 根据我国的相关法律法规，当兵需要满足一定的政治、身体、文化等条件。其中，政治条件尤为重要，要求应征者必须具有良好的政治素质和道德品质，无违法犯罪记录等。
- 这里的“违法犯罪记录”通常包括刑事犯罪记录，但在某些严格的情况下，也可能包括较为严重的行政违法记录，尤其是那些涉及道德败坏、社会危害性较大的行为。
14岁行政拘留的特殊性：
- 14岁属于未成年人，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的规定，已满十四周岁不满十八周岁的人违反治安管理的，从轻或者减轻处罚。但这并不意味着未成年人违法就不会留下记录或影响未来。
- 如果行政拘留的原因涉及较为严重的违法行为，如盗窃、抢劫、故意伤害等，且情节恶劣，那么这种记录很可能在当兵的政治审查中被视为不利因素。
后续表现与补救措施：
- 如果孩子在被行政拘留后能够深刻反省，积极改正错误，并在后续的生活中表现出良好的道德品质和社会责任感，那么这有助于减轻或消除之前的不良记录对其当兵资格的影响。
- 此外，孩子还可以通过参加志愿服务、社区活动等方式来展示自己的积极变化，增加当兵的可能性。
特殊场景：
- 如果行政拘留的原因非常轻微，如因一时冲动或误解而违反了某些管理规定，且情节显著轻微，那么这种记录可能不会对当兵资格产生太大影响。但具体还需根据当地征兵部门的政策和规定来判断。
建议与行动：
- 如果孩子有当兵的意愿，建议首先了解当地征兵部门的具体政策和要求，特别是关于违法犯罪记录方面的规定。
- 同时，孩子可以积极与当地征兵部门沟通，说明自己的情况，并展示自己的积极变化和良好品质，以争取更多的理解和支持。
- 如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和建议。