1. 公司可以在以下过错性辞退情形下辞退员工，且无需支付经济补偿：

   • 在试用期间被证明不符合录用条件：公司需在招聘时明确岗位的录用条件，并在试用期内对员工进行客观、公正的考核。若员工未达到录用条件，如技能测试不达标、业绩不达标或工作能力不符要求等，公司可解除劳动合同。例如，招聘时明确要求软件工程师需熟练掌握某编程语言，但员工试用期内无法运用该语言完成基本工作，即视为不符合录用条件。
   • 严重违反用人单位的规章制度：公司的规章制度必须合法、合理，经过民主程序制定，并向员工公示。员工如严重违反这些规定，如多次旷工、上班时间从事私人商业活动影响工作、严重违反操作流程导致重大损失等，公司有权辞退。
   • 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害：员工因严重失职或营私舞弊行为给公司带来重大损失，如财务人员疏忽导致资金被骗、销售人员泄露公司机密或利用职务之便谋取私利等，公司可辞退。损害标准可由公司规章制度明确界定，且行为与损害之间需有直接因果关系。
   • 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，严重影响本单位工作任务：若员工在外兼职影响本职工作，且经公司提醒拒不改正，公司可解除劳动合同。例如，员工因兼职导致无法按时完成本职工作，或兼职行为与公司利益产生冲突等。
   • 劳动合同无效的情形：如员工以欺诈手段订立劳动合同，如提供虚假学历、工作经历或隐瞒重要信息等，公司可认定合同无效并辞退员工。
   • 被依法追究刑事责任：员工若被司法机关追究刑事责任，如被判拘役、有期徒刑或罚金等刑罚，公司可解除劳动合同。

2. 公司可以在以下非过错性辞退情形下辞退员工，但需支付经济补偿：

   • 劳动者患病或者非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作：员工享有一定的医疗期，医疗期长度根据工作年限和病情确定。医疗期满后，若员工不能从事原工作或公司另行安排的工作，公司可解除劳动合同，但需提前三十日以书面形式通知员工，或额外支付一个月工资作为经济补偿。
   • 劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作：当发现员工不能胜任工作时，公司应首先进行培训或调整岗位。若调整后仍不能胜任，如销售人员经培训后仍无法完成销售指标、技术人员经培训后仍无法掌握关键技能等，公司可解除劳动合同并支付经济补偿。
   • 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化：如企业迁移、被兼并、经营方式调整等导致劳动合同无法履行，且双方未能就变更协议达成一致，公司可解除劳动合同并支付经济补偿。例如，公司因业务调整需要搬迁至其他城市，员工因个人原因不愿随迁，且双方无法就工作地点变更达成一致。

3. 公司可以在经济性裁员情形下辞退员工，但需支付经济补偿：

   • 企业重整的情况：企业因经营不善、资不抵债等原因，依法进入重整程序时，可进行经济性裁员。此时，公司需提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后向劳动行政部门报告裁减方案，方可进行裁员，并支付经济补偿。经济性裁员需满足一定条件，如裁减人员数量达到一定比例或绝对数等。

综合建议：

• 公司在辞退员工时，必须严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的规定，确保辞退行为的合法性与合理性。每种情况下的辞退都需基于充分的事实依据和合法的程序，避免引发不必要的法律纠纷。
• 公司应建立健全的规章制度和考核机制，明确员工的行为标准和考核要求，以便在辞退员工时有据可依。
• 在辞退过程中，公司应注重与员工的沟通，尽量通过协商解决问题，维护和谐的劳动关系。若确需辞退员工，应依法支付经济补偿，保障员工的合法权益。
• 若公司对辞退员工的具体情形或程序存在疑问，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供详细的法律建议。