当您的私人车辆因抵押贷款逾期被贷款机构开走时，针对行车证的处理以及整体情况的应对，您可以按照以下步骤来合理、合法地维护自己的权益：

一、明确合同内容与行车证归属

首先，您需要仔细查阅与贷款机构签订的汽车抵押贷款合同。特别关注合同中关于逾期还款、车辆处置以及行车证等重要证件的处理条款。了解在逾期情况下，贷款机构是否有权开走车辆，以及行车证是否会被扣留或要求交出。这一步是判断贷款机构行为是否合法，以及后续处理行车证问题的基础。

二、与贷款机构沟通行车证问题

在确认车辆被开走后，您应立即与贷款机构取得联系，询问行车证的具体情况。表明您对行车证的重视，并询问是否可以取回或如何办理相关手续。同时，了解贷款机构对于行车证的处理流程和要求，以便您能够按照正规程序进行操作。

三、核实欠款与行车证的关系

要求贷款机构提供详细的欠款明细，并确认欠款情况与行车证的处理是否直接相关。如果贷款机构以欠款为由扣留行车证，您需要核实这一做法是否符合合同约定和法律规定。如果合同中没有明确规定或法律规定不允许扣留行车证作为还款担保，那么贷款机构的行为可能涉嫌违法。

四、协商解决方案与取回行车证

在了解欠款情况和行车证处理方式后，您可以与贷款机构进行协商，探讨可能的解决方案。例如，您可以提出尽快偿还逾期款项，并要求贷款机构归还行车证。或者，您可以与贷款机构达成新的还款协议，并在协议中明确行车证的处理方式和归还时间。在协商过程中，务必保持诚恳和理性的态度，以达成双方都能接受的解决方案。

五、寻求法律援助与保护权益

如果与贷款机构的沟通没有取得理想结果，且您认为贷款机构的行为存在不合理或不合法之处，特别是扣留行车证的行为，您可以考虑寻求法律帮助。咨询专业律师，向其说明具体情况，并提供合同条款、沟通记录以及其他相关证据。律师会根据这些信息分析贷款机构的行为是否合法，并为您提供专业的法律建议和解决方案。在必要时，您可以向法院提起诉讼，要求贷款机构返还行车证并赔偿因此造成的损失。

六、保持冷静并配合处理

在整个过程中，保持冷静和理性至关重要。避免情绪化的行为或言辞，积极配合贷款机构的调查和协商工作。同时，也要保护好自己的个人信息和财产安全，防止因情绪激动或处理不当而引发更大的纠纷或损失。

七、预防未来类似情况与行车证管理

从这次经历中吸取教训，加强财务管理和规划，确保未来能够按时偿还贷款，避免再次出现逾期情况。同时，也要妥善保管好行车证等重要证件，避免因丢失或损坏而引发不必要的麻烦。在签订任何贷款或抵押合同时，务必仔细阅读并理解所有条款和内容，特别是关于逾期、违约以及证件处理的部分。

综上所述，面对私人车辆抵押贷款逾期后车辆被开走以及行车证处理的问题，您应当明确合同内容、与贷款机构沟通、核实欠款情况、协商解决方案、寻求法律援助（如有必要）、保持冷静并配合处理，并预防未来类似情况的发生。通过这些步骤，您可以更好地维护自己的合法权益，并妥善处理行车证问题。