故意泄露国家秘密罪的最低刑罚为处三年以下有期徒刑或者拘役。这一处罚依据《中华人民共和国刑法》第三百九十八条的规定，该条款明确指出了对故意泄露国家秘密罪的处罚标准。

具体来说，国家机关工作人员违反保守国家秘密法的规定，故意或者过失泄露国家秘密，情节严重的，处三年以下有期徒刑或者拘役；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑。对于非国家机关工作人员犯此罪的，也依照上述规定酌情处罚。

在构成故意泄露国家秘密罪时，必须满足违反保密法规、泄露国家秘密、主观故意以及情节严重等四个条件。同时，情节严重的判断需综合考虑泄露国家秘密的密级程度、泄露的次数和时间、泄露行为造成的后果、行为人的目的和动机以及行为人泄露前后的表现等因素。

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