结论：精神分裂症病人作为公职人员嫖娼，是否追究责任需分情况讨论，主要取决于其作案时的精神状态以及是否具备刑事责任能力或行政责任能力。
分析说明：
刑事责任能力角度：
- 完全无刑事责任能力：如果精神分裂症病人在嫖娼时处于发病期，且经法定程序鉴定确认其完全不能辨认或者不能控制自己行为，那么根据《中华人民共和国刑法》第十八条的规定，该病人不负刑事责任。但这种情况较为特殊，且需经过严格的司法鉴定程序。
- 限制刑事责任能力：若精神分裂症病人在嫖娼时处于发病期，但经鉴定确认其具有部分刑事责任能力，即能够辨认或者控制自己行为的能力有所减弱，那么根据法律规定，可以从轻或者减轻处罚。然而，嫖娼行为本身通常不构成犯罪，除非涉及其他严重情节（如组织、强迫、引诱、容留、介绍卖淫等），因此这一角度在此情境下可能并不直接相关。
- 完全刑事责任能力：如果精神分裂症病人在嫖娼时并未发病，或者虽然发病但经鉴定确认其具有完全刑事责任能力，即能够完全辨认和控制自己的行为，那么其嫖娼行为将受到法律的制裁，尽管嫖娼本身不构成犯罪，但会面临行政处罚。
行政责任能力角度：
- 行政处罚的适用：无论精神分裂症病人是否具有刑事责任能力，只要其嫖娼行为被查实，且不属于完全无行政责任能力（即能够辨认自己行为的后果并控制自己的行为），就可能面临行政处罚。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第六十六条的规定，卖淫、嫖娼的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处五千元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
- 精神状况对行政处罚的影响：在行政处罚过程中，如果精神分裂症病人提出其作案时处于发病期且无法辨认或控制自己行为，行政机关可能会考虑其精神状况，但这并不意味着可以完全免除处罚。行政机关会综合评估病人的精神状况、行为后果以及社会危害程度等因素，作出相应的处罚决定。
公职人员身份的影响：
- 纪律处分：作为公职人员，嫖娼行为不仅违反了法律法规，还违反了公职人员的职业道德和纪律要求。因此，即使精神分裂症病人因精神状况而免于刑事处罚或行政处罚，其仍可能面临所在单位的纪律处分，如警告、记过、降级、撤职甚至开除等。
- 社会影响：公职人员的嫖娼行为还会对其个人声誉和职业形象造成严重影响，甚至可能引发社会舆论的谴责和质疑。
行动建议：
- 对于精神分裂症病人及其家属：应加强对病人的监护和治疗，确保其病情得到稳定控制，避免类似行为再次发生。同时，应积极配合相关部门的调查和处理工作，如实陈述事实情况。
- 对于公职人员所在单位：应加强对公职人员的职业道德教育和纪律要求，建立健全的监督机制和管理制度，防止类似行为的发生。对于已经发生的嫖娼行为，应依法依规进行处理，维护公职人员的良好形象和职业声誉。
特殊场景：
- 如果精神分裂症病人在嫖娼时确实处于发病期且无法辨认或控制自己行为，且经法定程序鉴定确认，那么其可能免于刑事处罚或行政处罚。但这一结论需要严格的司法鉴定程序和证据支持，不能仅凭病人或家属的陈述就轻易作出判断。
法律依据：
- 《中华人民共和国刑法》第十八条
- 《中华人民共和国治安管理处罚法》第六十六条
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