结论：试用期结束后次日公司提出解除劳动合同，是否需要支付经济补偿金，主要取决于解除劳动合同的原因是否合法、合理，并能否提供充分证据支持。以下是具体分析：

一、无需支付经济补偿金的情形

1. 劳动者不符合录用条件

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，若劳动者在试用期间被证明不符合录用条件，用人单位可以解除劳动合同且无需支付经济补偿金。
   • 实施要点：用人单位需提供充分的证据，如招聘时的具体岗位要求、试用期的客观评估记录及工作成果对比等，证明劳动者未达到明确的录用标准。

2. 劳动者存在严重违纪等法定过错情形

   • 法律依据：同样依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，若劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等法定情形，用人单位也可解除合同且不支付赔偿。
   • 实施要点：用人单位需保留好劳动者的违规行为记录、造成的损失证据等，以证明解除的合法性。

二、需要支付经济补偿金的情形

1. 违法解除

   • 法律依据：若用人单位无法证明劳动者不符合录用条件，且无其他法定解除事由即随意解除合同，则属于违法解除。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位应按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 经济补偿计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；不满六个月的，支付半个月工资作为经济补偿金（但由于是试用期结束后解除，若已满六个月但不满一年，则按一年计算）。违法解除的，支付金额为上述标准的二倍。工资标准按劳动合同解除前十二个月的平均工资计算，若工作不满十二个月，则按实际工作月数计算平均工资。

2. 非过错性辞退

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，在某些情况下，即使劳动者无过错，但因主客观原因致使劳动合同无法履行，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同，并需支付经济补偿。这些情形包括劳动者患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作；以及劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位仍不能胜任工作等。
   • 经济补偿计算：经济补偿标准同样按工作年限计算，每满一年支付一个月工资，不满六个月的支付半个月工资。

三、总结与建议

试用期结束解除劳动合同的赔偿问题，关键在于解除原因的合法性和证据的充分性。用人单位应严格遵守相关法律法规，确保解除行为的合法性和合理性，以避免不必要的法律纠纷和经济损失。同时，劳动者也应了解自己的权益和义务，当合法权益受到侵害时，应及时寻求法律帮助并维护自身权益。在处理此类问题时，双方应保持沟通，尽量通过协商解决争议，以实现和谐稳定的劳动关系。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。